Méthodes d'analyse de Fourier en hydrodynamique : des mascarets aux fluides avec capillarité

The first part of the present thesis deals with the so -called abcd systems which were derived by J.L. Bona, M. Chen and J.-C. Saut back in 2002. These systems are approximation models for the waterwaves problem in the Boussinesq regime, that is, waves of small amplitude and long wavelength. In the first two chapters we address the long time existence problem which consists in constructing solutions for the Cauchy problem associated to the abcd systems and prove that the maximal time of existence is bounded from below by some physically relevant quantity. First, we consider the case of initial data belonging to some Sobolev spaces imbedded in the space of continuous functions which vanish at infinity. Physically, this corresponds to spatially localized waves. The key ingredient is to construct a nonlinear energy functional which controls appropriate Sobolev norms on the desired time scales. This is accomplished by working with spectrally localized equations. The two important features of our method is that we require lower regularity levels in order to develop a long time existence theory and we may treat in an uni ed manner most of the cases corresponding to the di erent values of the parameters. In the second chapter, we prove the long time existence results for the case of data thatdoes not necessarily vanish at in nity. This is especially useful if one has in mind bore propagation. One of the key ideas of the proof is to consider a well-adapted high-low frequency decomposition of the initial data. In the third chapter, we propose infinite volume schemes in order to construct numerical solutions. We use these schemes in order to study traveling waves interaction.The second part of this manuscript, is devoted to the study of optimal regularity issues for the incompressible inhomogeneous Navier-Stokes system and the Navier-Stokes-Korteweg system used in order to take in account capillarity effects. More precisely, we prove that these systems are well-posed in their truly critical spaces i.e. the spaces that have the same scale invariance as the system itself. Inorder to achieve this we derive new estimates for a Stoke-like problem with time independent variable coefficientsDans la première partie de cette thèse on étudie les systèmes abcd qui ont été dérivés par J.L. Bona, M. Chen et J.-C. Saut en 2002. Ces systèmes sont des modèles approximant le problème d'ondes hydrodynamiques dans le régime de Boussinesq, à savoir, des vagues de faible amplitude et de grande longueur d'onde. Dans les deux premiers chapitres on considère le problème d'existence en temps long à savoir la construction de solutions pour les systèmes abcd qui ont leur temps d'existence minoré par 1/ε où ε est le rapport entre une amplitude typique du vague et la profondeur du canal. Dans un premier temps on considère des données initiales appartenant aux espaces de Sobolev qui sont inclus dans l'espace des fonctions continues qui s'annulent à l'infini. D'un point de vue physique cette situatuion correspond à des vagues sont localisées en espace. Le point clé est la construction d'une fonctionnelle non linéaire d'énergie qui contrôle certaines normes de Sobolev sur un intervalle de temps long. Pour y arriver, on travaille avec des équations localisées en fréquence. Cette approche nous permet d'obtenir des résultats d'existence en temps long en demandant moins de régularité sur les données initiales. Un deuxième avantage de notre méthode est que l'on peut traiter d'une manière unifiée presque tous les cas correspondant aux différentes valeurs des paramètres abcd. Dans le deuxième chapitre on montre des résultats d'existence en temps long pour le cas des données ayant un comportement non trivial à l'infini. Ce type des données est relevant pour l'étude de la propagation des mascarets. L'idée qui est à la base de ces résultats est de considérer un découpage convenable de la donnée initiale en hautes et basses fréquences. Dans le troisième chapitre on emploie des schémas de volumes finis afin de construire des solutions numériques. On utilise ensuite nos schémas pour étudier l'interaction d'ondes progressives.La deuxième partie de ce manuscrit est consacrée à l'étude des problèmes de régularité optimale pour le système de Navier-Stokes qui régi l'évolution d'un fluide incompressible, inhomogène et pour le système Navier-Stokes-Korteweg utilisé pour prendre en compte les effets de capillarité. Plus précisément, on montre que ces systèmes sont bien-posés dans leurs espaces critiques, à savoir, les espaces quiont la même invariance par changement d'échelle que les systèmes eux-mêmes. Pour pouvoir démontrer ce type de résultats on a besoin d'établir de nouvelles estimations pour un problème de type Stokes avec des coefficients variable