Izračunljivost u euklidskom prostoru

U radu se proučava izračunljivost metričkih prostora i skupova u metričkim prostorima. Uvode se pojmovi izračunljive točke i izračunljivog niza. Pokazuje se da je euklidski prostor izračunljiv metrički prostor. Definiramo izračunljiv skup izračunljivog metričkog prostora i rekruzivno prebrojiv skup u takvom prostoru. Dolazimo do rezultata kako je svaki izračunljiv skup rekurzivno prebrojiv, te kako svaki rekurzivno prebrojiv, neprazan i potpun skup sadrži gust izračunljiv niz. Promatramo prostor kompaktnih skupova \((\mathscr{K}, d_{H})\) nekog izračunljivog metričkog prostora \((X, d, \alpha)\) uz Hausdorffovu metriku. Pokazujemo kako je \((\mathscr{K}, d_{H}, \Lambda)\) jedan izračunljiv metrički prostor, te kako su svi izračunljivi skupovi u prostoru \((X, d, \alpha)\) upravo izračunljive točke prostora \((\mathscr{K}, d_{H}, \Lambda)\) i obratno.The thesis examines the computability of metric spaces and sets in metric spaces. We introduce the terms of computable point and computable sequence. We prove the Euclidean space is a computable metric space. Furthermore, we define a computable set in a computable metric space and recursively computable set in such a space. We go to prove that every computable set is recursively enumerable and every recursively enumerable, non-empty and complete set contains a dense computable sequence. Further we go to examine a space of compact sets \((\mathscr{K}, d_{H})\) of a computable metric space \((X, d, \alpha)\) considering Hausdorff metric. We show \((\mathscr{K}, d_{H}, \Lambda)\) is a computable metric space, and that all computable metric sets of \((X, d, \alpha)\) space are exactly the computable points of \((\mathscr{K}, d_{H}, \Lambda)\), and that the converse also holds