Gaborovi bazni okviri

U ovom radu cilj nam je definirati i analizirati Gaborove bazne okvire na Hilbertovom prostoru \(L^2(\mathbb{R})\). Da bismo to mogli napraviti, u 1. poglavlju najprije navodimo kratak pregled osnovnih rezultata iz opće teorije normiranih prostora, te definiciju i osnovna svojstva Fourierove transformacije. Zatim u 2. poglavlju definiramo bazne okvire na općenitom Hilbertovom prostoru i dokazujemo neka svojstva i karakterizacije, pri čemu su nam posebno važna rekonstrukcijska svojstva baznih okvira. Proučavajući rekonstrukcijska svojstva, prirodno nam se javlja pojam duala baznog okvira, pa je kraj 2. poglavlja posvećen upravo toj temi. Napokon, u 3. poglavlju definiramo Gaborove sisteme i specijalno, centralni objekt ovog rada, Gaborove bazne okvire, te koristeći do tada razvijenu teoriju proučavamo njihova svojstva. Najprije se ograničavamo na slučaj u kojem generirajuća funkcija ima kompaktan nosač, a nakon toga postepeno proširujemo razmatranja na proizvoljnu funkciju iz prostora \(L^2(\mathbb{R})\). Na samom kraju rada, dokazujemo tri teorema u kojima su navedeni neki dovoljni uvjeti na generirajuću funkciju i parametre, uz koje je pripadni Gaborov sistem (Gaborov) bazni okvir za \(L^2(\mathbb{R})\).In this thesis our objective is to define and analyze Gabor frames on Hilbert space \(L^2(\mathbb{R})\). In order to achieve this, in first chapter we list some fundamental results in general normed space theory, and we also have a brief discussion about Fourier transform. Afterwards, in the second chapter, we define frames in general Hilbert space and we prove some main properties and characterizations, most important of which are the reconstruction properties. While studying the reconstruction properties, the notion of dual frames naturally appears, thus, the end of the second chapter is dedicated to them. Finally, in the third chapter, we define Gabor systems, and in particular, the central objects of this thesis, the Gabor frames. Using the theory we developed earlier, we study some of their main properties. First, we limit ourselves on special case, in which the generating function of the system is compactly supported. Thereafter, we generalize these results on arbitrary functions in \(L^2(\mathbb{R})\). At the very end of the thesis, we give some sufficient conditions on generating function and parameters, for which the according Gabor system is in fact a (Gabor) frame