Transformations of Discrete and Continuous Random Variables

Transformacije slučajnih varijabli vrlo su bitne u teoriji vjerojatnosti jer nam omogućavaju lakše rješavanje različitih vjerojatnosnih problema. U ovom radu ćemo se prvo upoznati s nekim osnovnim pojmovima, definicijama i teoremima kako bismo mogli shvatiti što su i čemu služe transformacije slučajnih varijabli. Vidjet ćemo da sva vjerojatnosna svojstva slučajne varijable X možemo opisati pomoću njene funkcije distribucije F, odnosno pomoću njene tablice distribucije ako je X diskretna te pomoću funkcije gustoće ako je X neprekidna slučajna varijabla. Nadalje, zanimat će nas kako pronaći distribuciju nove slučajne varijable Y = g(X) ako poznajemo distribuciju slučajne varijable X i funkciju g. To je problem kojim ćemo se baviti u ovom radu. Takoder ćemo pokazati da čak i jednostavne transformacije slučajnih varijabli s jednostavnim distribucijama mogu dovesti do slučajnih varijabli sa složenim distribucijama pa ćemo probleme rješavati u raznim specijalnim slučajevima. Prvo ćemo proučiti transformacije koje možemo primijeniti i na diskretne i neprekidne slučajne varijable, a zatim ćemo razmotriti i one transformacije koje su karakteristične samo za jedan tip slučajnih varijabli.Transformations of random variables are very important in probability theory because they allow us to solve various probability problems. First of all, we will recall some of the basic terms, definitions and theorems which will help us to understand what the transformations of random variables are. We will also see that all properties of a random variable X can be described by its distribution function F, i.e. using its distribution table if X is discrete and using its density function when X is a continuous random variable. Furthermore, we are interested in finding distribution of new random variable Y = g(X) if we know distribution of random variable X and function g. This is the problem that we are going to deal with in this paper. As we will see, even simple transformations of random variables, with simple distributions, can lead to a random variables with complex distributions so we will solve the problem in various special cases. First, we will examine the transformations that can be applied to the discrete and continuous random variables, then we will consider those transformations which can be applied only on one type of random variables