Optisen kaviteetin dissipatiivisten rakenteiden numeerinen stabiilisuusanalyysi

Tarkastelen tässä työssä L. A. Lugiaton ja R. Lefeverin johtamaa yhtälöä suorakulmaisessa optisessa kaviteetissa olevalle systeemille, jossa on taittumis-kertoimeltaan epälineaarista väliainetta ja ulkoinen kenttä. Kaviteetin päissä on puoliläpäisevät peilit ja seininä täysin heijastavat peilit. He johtavat yhtälön tällaiselle systeemille optisissa systeemeissä havaittujen epästabiilien ilmiöiden, kuten pulssimaisten, oskilloivien tai kaoottisten systeemien sekä optisen bista-biilisuuden vuoksi, joita kaikkia myös havaitsin numeerisissa simulaatioissa. Varmistan itse analyyttisesti heidän ensimmäisen kertaluvun häiriöteorialla johtamansa yhtälön parametrien ehdon stationaaristen ratkaisujen epästabii-lisuudelle. Sitten selitän numeerista laskentaa ja tässä työssä käyttämiäni algoritmeja. Olen itse ohjelmoinut tässä työssä käyttämäni tietokoneohjelman, jolla simuloin numeerisesti ohjelmalle syötetyn alkutilan aikakehitystä Lugiato-Lefever -yhtälön mukaisesti. Seuraavaksi kerron numeerisissa simulaatioissa käyttämistäni parametreista ja häiriötermeistä sekä esitän kuvaajia esimerkkeinä suorittamistani numeerisista simulaatioista. Lopuksi tarkastelen numeeristen simulaatioiden stabiilisuutta ja vertaan niitä teoreettisesti laskettuun epästa-biilisuusrajaan. Havaitsen useiden stabiilisuusrajan ylemmän haaran stabiililla puolella olevien tapausten olevan sitä myös numeerisesti. Myös teoreettisesti epästabiilit tapaukset ovat numeerisesti epästabiileja. Poikkeuksena näihin eräät aivan stabiilisuusrajan ylemmän haaran välittömässä läheisyydessä olevat tapaukset. Sen sijaan stabiilisuusrajan alemman haaran stabiililla puolella olevat tapaukset osoittautuvat numeerisesti epästabiileiksi. Tämä saattaa johtua siitä, että epästabiilisuus ei ehkä ilmene teoreettisessa tarkastelussa käytetyssä ensimmäisen kertaluokan häiriöteoreettisessa käsittelyssä, vaan se ilmenee vasta korkeammissa kertaluvuissa. Päädyn johtopäätökseen, että Lugiato-Lefever -yhtälön stationaaristen ratkaisujen stabiilisuutta olisi tarkasteltava teoreettisesti korkeamman kertaluvun häiriöteoreettisella käsittelyllä, jotta saataisiin paremmin selville niiden tapausten epästabiilisuuden luonne, jotka tässä työssä ovat teoreettisesti stabiileja, mutta numeerisesti epästabiileja. Näin pystyttäisiin ehkä selittämään paremmin epästabiilit ilmiöt, joiden vuoksi Lugiato ja Lefever alunperin johtivat yhtälönsä.Siirretty Doriast