Sur la commandabilité des systèmes non linéaires à temps discret

The work presented in this thesis deals with the problem of optimal control of discrete-time system by means of dynamic programming methods. A particular formulation of functional equation is considered. This problem leads us to consider the problem of the controllability of nonlinear discrete-time systems, also denoted here by input-state inversion problem. The problem has been carried out in two stages. The first stage is concerned with the analysis of the problem of controllability. We present different approaches for study of the controllability of systems: composition of function, differential geometry and differential algebra. We propose hereafter a necessary controllability condition based on a minimum principle application. Finally a necessary and sufficient controllability condition is developed for bilinear discrete-time systems, which follows immediately from the previous result based on minimum principle. Once the ability of the system to be controllable is checked, the second stage will consist to solve the inversion problem. Firstly, we propose an algebraic technique based on the determination of the sequence of controls directly from the matrix of controllability. We also propose an approach based on the reformulation of the controllability problem as a classical optimal control problem. Secondly, we use techniques of feedback linéarisation. The problem of feedback linéarisation is considered in two ways. We present in the first way an algebraic approach. In the second way, we propose a geometric approach in which we define a sequence of distributions by using vector field associated to system as well as a virtual linear output system. The linearizing transformation and the feedback control are constructed from these distributions. Finally, results on accessibility and feedback linearisation are presented on practical applications in the framework of dynamic programming.Le travail réalisé dans cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'étude de la commande optimale des systèmes non linéaires à temps discret par des méthodes de type programmation dynamique. Une formulation particulière de l'équation fonctionnelle considérée ici nous a amené à examiner le problème de commandabilité que nous avons encore qualifié de problème d'inversion entrée-états. L'étude comporte deux phases. La première phase consiste à analyser la propriété de commandabilité des systèmes. Plusieurs approches sont considérées: composition de fonction, géométrie différentielle et algèbre différentielle. On propose ensuite une condition nécessaire de commandabilité basée sur l'utilisation du principe du minimum. Finalement, une application directe de cette condition nécessaire de commandabilité est développée pour les systèmes bilinéaires. Une fois la propriété de commandabilité du système vérifiée, la seconde phase consiste à résoudre le problème d'inversion. On propose tout d'abord une technique algébrique conduisant à la détermination d'une séquence de commandes à partir de la matrice de commandabilité. On propose ensuite une approche basée sur une formulation du problème d'inversion en terme d'un problème de commande optimale. On considère également les techniques de linéarisations exactes qu'on aborde selon deux voies. On présente dans la première voie une approche de l'algèbre différentielle. Dans la deuxième voie, on propose une approche de géométrique différentielle dans laquelle on définit une séquence de distributions basée sur l'utilisation de champs vecteurs associés au système, ainsi qu'une sortie virtuelle linéaire. La transformation et le bouclage linéarisant sont calculés à partir de ces distributions. Finalement, ces résultats sur l'accessibilité et la linéarisation exacte sont présentés sur des applications pratiques dans le cadre de la commande optimale par programmation dynamique