Etude mathématique et numérique de modèles de transport : application à la spintronique

This thesis is decomposed into three parts. The main part is devoted to the study of spin polarized currents in semiconductor materials. An hierarchy of microscopic and macroscopic models are derived and analyzed. These models take into account the spin relaxation and precession mechanisms acting on the spin dynamics in semiconductors. We have essentially two mechanisms : the spin-orbit coupling and the spin-flip interactions. We begin by presenting a semiclassical analysis (via the Wigner transformation) of the Schr¨odinger equation with spin-orbit hamiltonian. At kinetic level, the spinor Vlasov (or Boltzmann) equation is an equation of distribution function with 2×2 hermitian positive matrix value. Starting then from the spinor form of the Boltzmann equation with different spin-flip and non spin-flip collision operators and using diffusion asymptotic technics, different continuum models are derived. We derive drift-diffusion, SHE and Energy-Transport models of two-components or spin-vector types with spin rotation and relaxation effects. Two numerical applications are then presented : the simulation of transistor with spin rotational effect and the study of spin accumulation effect in inhomogenous semiconductor interfaces. In the second part, the diffusion limit of the linear Boltzmann equation with a strong magnetic field is performed. The Larmor radius is supposed to be much smaller than the mean free path. The limiting equation is shown to be a diffusion equation in the parallel direction while in the orthogonal direction, the guiding center motion is obtained. The diffusion constant in the parallel direction is obtained through the study of a new collision operator obtained by averages of the original one. Moreover, a correction to the guiding center motion is derived. In the third part of this thesis, we are interested in the description of the confinement potential in two-dimensional electron gases. The stationary one dimensional Schr¨odinger?Poisson system on a bounded interval is considered in the limit of a small Debye length (or small temperature). Electrons are supposed to be in a mixed state with the Boltzmann statistics. Using various reformulations of the system as convex minimization problems, we show that only the first energy level is asymptotically occupied. The electrostatic potential is shown to converge towards a boundary layer potential with a profile computed by means of a half space Schrödinger?Poisson system.Ce travail de thèse comporte trois parties. La partie principale s'intéresse au transport des courants polarisés en spin dans des matériaux à base de semi-conducteurs. Nous dérivons et analysons une hiérarchie des modèles allant du niveau microscopique au niveau macroscopique et tenant compte des différents mécanismes de rotation et de relaxation du vecteur spin dans les semi-conducteurs. Les mécanismes essentiels pris en compte sont les couplages spin-orbite et les interactions avec renversement de spin (spin-flip interactions). Une analyse semi-classique (via la transformation de Wigner) de l'équation de Schrödinger avec hamiltonien spin-orbite est présentée. Au niveau cinétique, l'équation de Vlasov (ou Boltzmann) spinorielle est une équation à valeur dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre deux hermitiennes et positives. Partant ensuite de la spinor forme de l'équation de Boltzmann (avec différents opérateurs de collisions avec et sans renversement du vecteur spin) et par des techniques d'asymptotiques de diffusion, nous dérivons et analysons plusieurs modèles macroscopiques. Ils sont de type dérive-diffusion, SHE, Energie-Transport, à deux composantes ou spinoriels conservant des effets de rotation et de relaxation du vecteur spin. Nous validons ensuite ces modèles par des cas tests numériques. Deux applications numériques sont présentées : la simulation d'un transistor à effet de rotation de spin et l'étude de l'effet d'accumulation de spin à l'interface entre deux couches semi-conductrices différemment dopées. Dans la seconde partie, nous considérons une équation cinétique de type Boltzmann linéaire dans des domaines où un champ magnétique fort est appliqué. Nous étudions la limite de diffusion en supposant que le champ magnétique est unidirectionnel et tend vers l'infini. Le modèle obtenu est un modèle macroscopique constitué d'une équation diffusive dans la direction parallèle au champ magnétique et d'une dérive représentant l'effet centre-guide en présence d'un champ électrique dans la direction perpendiculaire. Le terme de diffusion contient des moyennes de giration de l'opérateur de collisions utilisé. Nous prouvons la convergence en utilisant des techniques d'entropie pour traiter le comportement diffusif, et en conjuguant par les rotations locales induites par le champ magnétique pour tenir compte des oscillations. Dans la troisième partie de cette thèse, Nous nous intéressons à la description du potentiel de confinement dans des gas d'électrons bidimensionnels. Nous étudions la limite faible longueur de Debye (ou faible température) du système de Schrödinger-Poisson unidimensionnel stationnaire sur un intervalle borné. Les électrons sont supposés dans un mélange d'états avec une statistique de Boltzmann (ou de Fermi-Dirac). En utilisant différentes reformulations du système comme des problèmes de minimisation convexe, nous montrons qu'asymptotiquement seul le premier niveau d'énergie est occupé. Le potentiel électrostatique converge vers une couche limite avec un profil calculé à l'aide d'un système de Schrödinger-Poisson sur le demi axe réel