Méthodes numériques pour l'écoulement de Stokes 3D: fluides à viscosité variable en géométrie complexe mobile ; application aux fluides biologiques

This work intends to provide numerical methods to solve the Stokes problem in a complex geometry for nonhomogeneous fluids. This model describes highly viscous flows, incompressible, whose viscosity is not uniform, depending on a certain agent concentration. From a mathematical point of vue, it is an elliptic problem coupled to a convection-diffusion equation, generating a non linear dynamics. The computational algorithm is based on an hybrid grid-particles discretization. A fractional-steps algorithm enable to separate the computation of the different phenomena involved, to take advantage of both these discretizations: Lagrangian methods are adapted to solve convection operators and Eulerian methods are used for diffusion. A penalization method enables an efficient treatment of the interaction between the fluid and the domain's complex moving geometry. An iterative projection method is developed for this quasi-static problem, it permits the use of fast solvers compatible with large dimension problems. Several test are presented to validate the convergence, the conservation and the performances of the algorithm in 3D. The context of this work is the mucus flow in the lung, around the epithelium ciliated cells covering bronchus. The study focuses on the efficiency of mucus transport, which captures and expectorate pathogen agents, with respect to biological parameters. Other simulations of a micro-swimmer and a porous media flow supplement this study.Ce travail propose des méthodes numériques pour la résolution du problème de Stokes en géométrie complexe pour des fluides non homogènes. Ce modèle décrit l'écoulement d'un fluide très visqueux, incompressible, dont la viscosité n'est pas uniforme mais dépend de la concentration d'un certain agent. D'un point de vue mathématique, il s'agit de résoudre un problème elliptique couplé à une équation de convection-diffusion, qui génèrent une dynamique non linéaire. L'algorithme de résolution est basé sur une discrétisation hybride utilisant une grille et des particules. Des algorithmes à pas fractionnaires permettent de séparer la résolution des différents phénomènes pour profiter des avantages spécifiques à ces discrétisations: méthodes lagrangiennes adaptées à la convection et méthodes eulériennes pour la diffusion. Une méthode de pénalisation permet de gérer efficacement l'interaction entre le fluide et la géométrie mobile du domaine. Une méthode de projection itérative est développée pour ce problème quasi-statique, cela permet d'utiliser des solveurs rapides propices aux calculs en grande dimension. Plusieurs cas tests viennent valider la convergence, la conservation et les performances de l'algorithme en 3D. Ce travail s'inscrit dans le contexte de l'étude de l'écoulement du mucus pulmonaire autour des cellules épithéliales ciliées tapissant les bronches. L'efficacité du transport du mucus, assurant la capture et l'expectoration des agents pathogènes, est étudiée en fonction des paramètres biologiques. D'autres simulations d'un micro-nageur et d'écoulements en milieux poreux complètent cette étude