Graphes de groupes et groupes co-hopfiens

A group G is said to be co-hopfian if every injection from G to G is an automorphism. With the Bass-Serre theory, we give conditions for the fundamental group of a graph of groups to be co-hopfian. We show that all one ended hyperbolic group is co-hopfian and use all these results to give a caracterisation of co-hopfian hyperbolic groups.Un groupe est dit co-hopfien si tout endomorphisme injectif de ce groupe est un automorphisme. En utilisant la théorie de Bass-Serre, nous montrons sous quelles conditions certains graphes de groupes, ayant leurs groupes d'arêtes finis, ont des groupes fondamentaux co-hopfiens. Nous montrons aussi, en utilisant le scindement JSJ de Bowditch, que tout groupe hyperbolique à un bout est co-hopfien. Ce résultat généralise un résultat de Sela au cas avec torsion. Nous terminons avec un algorithme général décidant, étant donné un groupe hyperbolique, si ce groupe est co-hopfien ou non