La géométrie symplectique de l’espace des structures projectives complexes sur une surface

This thesis investigates the complex symplectic geometry of the deformation space of complex projective structures on a surface. The author attempts to give a global and unifying picture of this symplectic geometry by exploring the connections between different possible approaches. The cotangent symplectic structure given by the Schwarzian parametrization is studied in detail and compared to the canonical symplectic structure on the character variety, clarifying and generalizing a theorem of S. Kawai. Generalizations of results of C. McMullen are derived, notably quasifuchsian reciprocity. The cotangent symplectic structure is also addressed through the notion of minimal surfaces in hyperbolic 3-manifolds. Finally, the symplectic geometry is described in a Hamiltonian setting with the complex Fenchel-Nielsen coordinates on the quasifuchsian space, recovering results of I. Platis.Cette thèse est consacrée à l’étude de la géométrie symplectique complexe de l’espace de déformations des structures projectives complexes sur une surface. En explorant les connexions entre les différentes approches possibles de cette géométrie symplectique, l’auteur essaie d’en donner une description globale et unificatrice. La structure symplectique cotangente provenant de la paramétrisation schwarzienne est étudiée en détail et comparée à la structure symplectique canonique de la variété des caractères, clarifiant et généralisant un théorème de S. Kawai. Il s’en ensuit une généralisation de résultats dûs à C. McMullen, notamment de la réciprocité quasifuchsienne. La structure symplectique cotangente est également abordée à travers la notion de surfaces minimales dans les variétés hyperboliques de dimension 3. Enfin, cette géométrie symplectique est décrite dans un cadre hamiltonien en relation avec les coordonnées de Fenchel-Nielsen complexes sur l’espace quasifuchsien, précisant les résultats obtenus par I. Platis