Étude des groupes et algèbres de Lie. Théorème de réduction/reconstruction de Lie-Poisson. Application aux groupes spécial orthogonal SO(3) et spécial euclidien SE(3) et à leurs algèbres so(3) et se(3).

L’une des tâches principales de la robotique de manipulation consiste à positionner et orienter – on peut dire situer – un organe terminal (objet, outil, caméra, ...) dans l’espace. La situation correspondante est un élément du groupe spécial euclidien SE(3). Un déplacement infinitésimal, ou une vitesse, de cette situation est un élément de l’algèbre de lie se(3) du groupe de Lie précédent alors qu’un effort (force et couple) qui lui est appliqué est un élément du dual se(3)∗, de l’algèbre de Lie précédente.Dans le cas particulier – plus simple – où il suffit d’orienter et non de situer dans l’espace l’orientation correspondante est un élément du groupe spécial orthogonal SO(3). Un déplacement infinitésimal, ou une vitesse, de cette orientation est un élément de l’algèbre de lie so(3) du groupe de Lie précédent alors qu’un effort (force et couple) qui lui est appliqué est un élément du dual so(3)∗, de l’algèbre de Lie précédente.Le but de ce rapport de recherche est d’étudier ces groupes, leurs algèbres de Lie et leurs duals, de manière quasi exhaustive dans la mesure où une étude complète fait défaut actuellement dans la littérature, au moins pour SE(3), se(3) et se(3)∗