Long-Time Asymptotics of Navier–Stokes and Vorticity Equations in a Three-Dimensional Layer

International audienceWe study the long-time behavior of solutions of the Navier-Stokes equation in R^2 \times (0,1). After introducing self-similar variables, we compute the long-time asymptotics of the vorticity up to second order, assuming that the initial vorticity is sufficiently small and has polynomial decay at infinity. Afterwards, we relax this smallness assumption and we prove again that the long-time behavior of global bounded solutions is governed by the two-dimensional Navier-Stokes equation. In particular, we show that solutions converge towards Oseen vortices.On étudie le comportement pour les grands temps des solutions de l'équation de Navier-Stokes dans la bande R^2 \times (0,1). Après reformulation du problème à l'aide de variables auto-similaires, on calcule un développement asymptotique en temps de la vorticité jusqu'au second ordre, en supposant que la vorticité initiale est suffisamment petite et décroît de manière polynomiale à l'infini. Dans un deuxième temps, sans cette hypothèse de petitesse sur la donnée initiale, on prouve que, de nouveau, le comportement asymptotique des solutions globales est régi par l'équation de Navier-Stokes bidimensionnelle. En particulier, on montre que de telles solutions convergent vers le tourbillon d'Oseen