Određivanje vrijednosti američkih opcija

Američka call (put) opcija se definira kao ugovor koji njegovom vlasniku daje pravo, ali ne i obvezu kupiti (prodati) dionicu (ili neki drugi oblik financijske imovine) po cijeni izvršenja K u bilo kojem trenutku t do datuma dospijeća T. Isplata se definira kao funkcija razlike između trenutne cijene dionice i cijene izvršenja tako da ta razlika ne bude manja od nula. Prije nego smo krenuli s opisivanjem numeričkih metoda računanja, uveli smo neke a priori granice koje vrijednosti opcija moraju zadovoljavati, naveli smo svojstva opcija te postavili model financijskog tržišta koji je zapravo idealizirani oblik stvarnog tržišta. Zatim smo opisali pretpostavke na kojima se metode računanja vrijednosti opcija zasnivaju. Tu spada tvrdnja da cijene dionica prate (geometrijsko) Brownovo gibanje te da funkcija vrijednosti opcije V (S; t) rješava Black - Scholesovu parcijalnu diferencijalnu jednadžbu. Numeričke metode za računanje vrijednosti opcija koje se koriste u ovom radu su metode konačnih diferencija. Obrađuju se tri takve metode: eksplicitna, implicitna i Crank - Nicolsonova metoda. Da bi mogli koristiti te metode, potrebno je prvo diskretizirati problem, odnosno uvesti mrežu na kojoj ćemo aproksimirati rješenja te pomoću Taylorovih redova izvesti jednadžbe centralnih diferencija i diferencija unaprijed i unatrag. Te jednadžbe koristimo u navedenim metodama. Zbog lakšeg računanja, te metode se primjenjuju na transformirane varijable. Nakon što se one izračunaju, od njih dobivamo originalne varijable kao što su cijena dionice i vrijednost opcije. Također smo obradili stabilnost i veličinu greške svake od tih metoda. Naveli smo sve rubne uvjete i definirali točku kontakta koja ne mora uvijek postojati. Skup takvih točaka tvori krivulju ranog iskorištavanja. Pomoću točke kontakta možemo objasniti kada vrijednost opcije zadovoljava Black-Scholesovu jednakost, a kada nejednakost. Zatim uvodimo jedan jednostavan problem i želimo naći njegovo rješenje jer taj jednostavan problem možemo primijeniti na rješavanje linearnog komplementarnog problema u računanju vrijednosti opcija. Nakon što smo našli rješenje linearnog komplementarnog problema, možemo krenuti na računanje vrijednosti opcija. Pomoću svih dosad dobivenih rezultata, možemo konstruirati algoritam za računanje i koristeći njega, napisati kompjutorski program. Postoje četiri glavne vrste grešaka koje se javljaju prilikom računanja vrijednosti. Budući da ovaj rad govori prvenstveno o numeričkoj analizi, obrađuju se samo greške diskretizacije koje možemo kontrolirati. Nakon numeričkih metoda, ukratko se opisuju i dvije analitičke metode. Zovemo ih analitičkim iako one uključuju neke numeričke algoritme. U zadnjem poglavlju su navedena četiri primjera u kojima testiramo algoritam, odnosno program koji računa vrijednosti opcija.American call (put) option is defined as a contract which gives its owner the right, but not obligation to buy (sell) stock (or some other financial assets) under the strike price K in any time t before the expiration T. Payoff is defined as a function of the difference between stock price and strike price so that the difference is not less than zero. Before describing numerical methods, we had to set up some a priori bounds that the values of the options must satisfy. We also listed features of options and set the model of financial market which is actually an idealized form of real market. Then, we described assumptions on which the methods of calculation are based on. Among those assumptions is a claim that the asset price follows (geometric) Brownian motion and that the value function V (S; t) solves the Black - Scholes partial differential equation. Numerical methods used are the finite difference methods. Three of these methods are described: explicit, implicit and Crank - Nicolson method. To use these methods, we had to first discretize the problem; i.e., to induct the grid on which the solution will be approximated. Also, we had to derive the equations of central, backward and forward differences using Taylor expansions. In order to make the calculations easier, these methods are applied only on transformed variables. After those are calculated, from them we calculate the original variables such as stock price and value of the option. Stability and error order of each method are also described. We listed all boundary conditions and defined the contact point (which does not always have to exist). A Set of those points is called the early exercise curve. By those contact points we can explain when value of an option satisfies the Black - Scholes equation, and when inequation. Then, we introduced one simple problem and we want to find its solution because we can apply it on our linear complementary problem. After we find that solution, we can start calculating values of the options. Using all obtained results, we can construct the algorithm for computation of American options and, by it, we can write a computer program. There are the four main errors that occur during calculation. Since this work is primarily based on numerical analysis, only discretization errors, which we can control, are described. After numerical methods, two analytical methods are shortly described. We call them analytical although they include some numerical algorithms. In the last section, four examples are shown in which the algorithm and the program that calculates values of the options are tested