Razdioba dugih ciklusa i velikih djelitelja

Jedan on ciljeva ovog diplomskog rada bio je definirati Poisson-Dirichletovu razdiobu i proučiti njezina glavna svojstva. Uvedeni su pojmovi iz područja matematičke analize, teorije vjerojatnosti i teorije brojeva nužni za razumijevanje kasnijih rezultata, a neka njihova svojstva su i dokazana. Motivacija i opravdanost definicije Poisson-Dirichletove razdiobe ilustrirani su kroz dva primjera u drugom poglavlju. Detaljno su obrazložena i formalno pokazana asimptotska svojstva slučajnih vektora koji odgovaraju relativnim duljinama ciklusa slučajnih permutacija, odnosno logaritamskih vrijednosti prostih djelitelja slučajnog prirodnog broja manjeg od n. U trećem poglavlju izrečeni su i dokazani glavni rezultati razmatrani u ovom radu. Povezana je funkcija gustoće Poisson-Dirichletove razdiobe, njezine marginalne gustoće i momenti s asimptotskim svojstvima dugih ciklusa i velikih djelitelja. U zadnjem poglavlju su ti rezultati primijenjeni na konkretnim podacima te je ilustrirana brzina konvergencije distribucija dugih ciklusa i velikih djelitelja za velik, ali konačan n.One of the aims of this thesis was to define Poisson-Dirichlet distribution and study its main properties. Concepts from the fields of Analysis, Probability theory and Number theory are introduced and some of their properties proven in order to fully understand later results. The motivation and justification for the definition of Poisson-Dirichlet distribution are illustrated by two examples in Chapter 2. Asymptotic properties of random vectors corresponding to relative lengths of cycles in random permutations and logarithmic values of prime divisors of random natural numbers smaller than n are formally proven and explained in detail. The main results discussed in this thesis are stated and proven in Chapter 3. The relation between probability density function of Poisson-Dirichlet distribution, its marginal densities and moments and asymptotic properties of long cycles and great divisors is proven. In concluding chapter these results are applied to specific data, we also illustrate the speed of convergence of distributions of long cycles and great divisors for large, but finite n