Opisana i upisana kružnica trokuta

U ovom su radu najprije prikazana osnovna svojstva nekoliko vrsta kružnica koje su povezane s trokutom. S pojmom upisane kružnice povezana je i poznata Heronova formula koja je dokazana koristeći svojstva vezana uz polumjer upisane kružnice trokuta. Važnu ulogu u geometriji ima i Eulerov teorem koji govori o udaljenosti središta opisane kružnice i središta upisane kružnice trokuta. U radu je dan njegov dokaz te je korišten u rješavanju mnogih zadataka. Kružnica devet točaka je također povezana s pojmom upisane i opisane kružnice trokuta te je dan niz važnih tvrdnji vezanih uz kružnicu devet točaka, od kojih je najvažnija Feuerbachov teorem. Nadalje, dane su konstrukcije trokuta u kojima je jedan od zadanih elemenata polumjer opisane ili upisane kružnice trokuta ili položaj središta tih kružnica, ali i dokazana nemogućnost izvodljivosti nekih konstrukcija ravnalom i šestarom. U završnom dijelu rada dane su neke nejednakosti vezane uz duljine stranica te upisanu i opisanu kružnicu trokuta.In this thesis, the basic properties of several types of circles related to triangle are presented first. The incircle is related to the well-known Heron's formula which has been proven using the properties of the inradius. Euler's formula is one of the most important theorems of geometry, which relates the circumradius, the inradius and the distance between the circumcenter and the incenter of a triangle. We proved Euler's formula and we used it in solving many tasks. Every triangle has a nine point circle which is connected to its inscribed circle and circumscribed circle. Important properties of nine-point circle are given, including the most important Feuerbach's theorem. Furthermore, there are given constructions of a triangle given by the circumradius, the inradius or the center position of these circles. We also proved the impossibility of some constructions using a compass and a straightedge. In the last chapter, theorems on geometric inequalities for the sides and the radii of a triangle are obtained