On the Hitting Set of Bundles Problem

Le problème de l'ensemble minimal de paquets (minimal hitting set of bundles problem ou HSB) est défini comme suit. On dispose d'un ensemble E = {e1, e2, . . . , en} de n éléments. Chaque élément ei (i = 1, . . . , n) a un coût positif ou nul ci. Un paquet b est un sous ensemble de E. On dispose aussi d'une collection S = {S1, S2, . . . , Sm} de m ensembles de paquets. De manière plus précise, chaque ensemble Sj (j = 1, . . . ,m) est composé de g(j) paquets distincts notés b1j , b2j , . . . , bg(j) j . Une solution du problème HSB est un sous ensemble E0 E tel que pour tout Sj 2 S, au moins un paquet est couvert, i.e. bl j E0. Le coût total de la solution, noté C(E0), est P{i|ei2E0} ci. Le problème consiste à trouver une solution de coût total minimum. Nous donnons un algorithme déterministe N(1 − (1 − 1 N )M)-approché, où N est le nombre maximal de paquets par ensemble etM est le nombre maximal d'ensembles à qui un élément appartient. Le rapport d'approximation est à peu de choses près le meilleur que l'on puisse proposer car on peut montrer que HSB ne peut être approché avec un rapport 7/6 − lorsque N = 2 et N − 1 − lorsque N 3. L'algorithme proposé est aussi le premier offrant une garantie de performance pour le problème classique d'optimisation de requêtes multiples [9, 10]. Son rapport d'approximation pour le problème MIN k−SAT dont il est une généralisation est le même que celui du meilleur algorithme connu [3]