A Lattice QCD study of the rho resonance and the timelike pion form factor

The $rho$ resonance with its principal decay into two pions is the subject of many experimental and theoretical investigations. The $rho$ is the lightest of all vector mesons and has some interesting applications, like giving access to the timelike pion form factor or a contribution to the hadronic vacuum polarisation of the anomalous magnetic moment of the muon, $(g-2)_mu$. In this work we study the $rho$ resonance using the Lattice formulation of Quantum Chromodynamics (Lattice QCD). Lattice QCD allows us to compute observables at low energies, where perturbation theory does not work due to the large coupling of QCD in this regime. The $rho$ has become a test piece for the study of resonances in Lattice QCD, which is always a difficult task because in Euclidean space, where Lattice QCD is formulated, we can directly extract only QCD-stable states. Special formalisms are therefore needed which study the impact of a resonance on stable states. We extract correlator data using state-of-the-art formalisms like Distillation with stochastic Laplacian-Heaviside (LapH) smearing to extract single- and two-meson correlators from the lattice, in a centre-of-mass frame and moving frames with three different total momenta. We then use the variational method in 8 different irreducible representations of those frames and obtain phase-shift information from this spectrum with a L"uscher-type analysis. Furthermore, we are computing the timelike pion form factor based on the phase-shift information as well as correlators from current operators. We parametrise the form factor using a fit of our data to an Omnes representation of the pion form factor and find that our data is well described both by the $2$-subtracted as well as the $3$-subtracted version of this representation. This fit allows us to extract the square radius of the pion which we compare to an independent lattice calculation of the spacelike pion form factor, performed on the same lattice ensembles. We use both the parametrised version of the pion form factor as well as a reconstruction of the light-quark correlator to get two seperate estimates of the vector-vector correlator, which we use to constrain the long-time behaviour of $(g-2)_mu$. Both methods give consistent results and lower the uncertainty estimate substantially compared to the simpler procedures. Because they do not rely on a fit to the low-energy data they are an independent check of the vector-vector correlator signal.Die $rho$-Resonanz, die erstrangig in zwei Pionen zerf"allt, ist das Thema vieler experimenteller sowie theoretischer Studien. Das $rho$ is das leichteste aller Vektor-Mesonen hat einige interessante Anwendungen. So kann es verwendet werden, um den zeitartigen Pion-Formfaktor zu berechnen oder einen Beitrag zum anomalen magnetischen Moment des Muon, $(g-2)_mu$, zu leisten. In dieser Arbeit untersuchen wir die $rho$-Resonanz mit Hilfe der Gitterformulierung der Quantenchromodynamik (Gitter-QCD). Mit Hilfe der Gitter-QCD k"onnen wir Observablen bei niedrigen Energien, wo St"orungstheorie aufgrund der gross en Kopplung der QCD nicht mehr anwendbar ist, berechnen. Das $rho$ kann als Referenzsystem f"ur die Untersuchung von Resonanzen in der Gitter-QCD betrachtet werden; eine generell schwierige Aufgabe, da die Gitter-QCD im Euklidischen Raum formuliert ist und nur QCD-stabile Zust"ande direkt extrahiert werden k"onnen. Resonanzen m"ussen daher mit speziellen Formalismen "uber ihre Auswirkung auf stabile Zust"ande untersucht werden. Wir verwenden moderne Methoden wie die sogenannte textit{Distillation} und stochastische textit{Laplacian-Heaviside (LapH)} Schmierung um Ein- und Zwei-Meson-Korrelatoren auf dem Gitter in einem Schwerpunktsystem und drei verschiedenen bewegten Systemen zu extrahieren. Wir verwenden dann die Variationsmethode in acht verschiedenen irreduziblen Darstellungen und erhalten damit Informationen zur Phasenverschiebung mit einer Analyse nach Art des L"uscher-Formalismus. Weiterhin berechnen wir den zeitartigen Pion-Formfaktor basierend auf dieser Phasenverschiebungsinformation sowie Matrixelemente des elektromagnetischen Stroms. Wir parametrisieren den Formfaktor mit einem Fit unserer Daten an eine Omnes-Darstellung des Pion-Formfaktors und sehen, dass unsere Daten sowohl durch die zweifach als auch durch die dreifach subtrahierte Version dieser Darstellung gut beschrieben werden. Durch diesen Fit k"onnen wir den qudratischen Radius des Pions extrahieren, den wir mit den Ergebnissen einer unabh"angigen Studie des raumartigen Pion-Formfaktors auf den selben Gitter-Ensembles vergleichen. Wir verwenden sowohl die parametrisierte Version des Pion-Formfaktors als auch eine Rekonstruktion der Beitr"age der leichten Quarks zur Korrelationsfunktion, um zwei verschiedene Absch"atzungen des Vektor-Vektor-Korrelators zu erhalten, mit dem wir die Infrarotbeitr"age zu $(g-2)_mu$ genauer bestimmen. Beide Methoden liefern konsistente Ergebnisse und verringern die Unsicherheitsabsch"atzung wesentlich, verglichen mit einfacheren Methoden. Da kein Fit an die Niedrigenergiedaten verwendet wird, sind sie auch eine unabh"angige "Uberpr"ufung des Signals des Vektor-Vektor-Korrelators