Asymptotically safe quantum gravity : bimetric actions, boundary terms, & a C-function

Today our understanding of Nature is based on two pillars, the classical theory of General Relativity and the Standard Model of particle physics, each remarkably successful and predictive. However, the coalescence of a classical spacetime with the quantum nature of matter leads to severe inconsistencies which are at the heart of many open problems in modern physics. In constructing a quantum theory of gravity which cures these deficiencies one not only faces the problem that General Relativity is perturbatively non-renormalizable, but one also has to incorporate the fundamental requirement of Background Independence, expressing that no particular spacetime (such as Minkowski space) is singled out a priori. In this thesis we employ a non-perturbative, universal method which has played an important role in the past decades: the Functional Renormalization Group Equation (FRGE). In the Effective Average Action (EAA) approach the search for a quantum field theory of gravity is guided by the Asymptotic Safety conjecture. Proposed by Steven Weinberg, it employs a generalized notion of renormalizability which goes beyond the standard perturbative ones. The key requirement is the existence of a non-trivial ultraviolet (UV) fixed point of the Renormalization Group (RG) flow which has a finite-dimensional UV-critical hypersurface to ensure predictivity. While classical General Relativity is recovered as an effective description in the infrared (IR), the bare (or ‘classical’) action emerges from the fixed point condition and is thus a prediction rather than an input. Since the original works on Asymptotic Safety in the 90’s, based on the Einstein-Hilbert truncation, various extensions and generalizations thereof have been studied in the past decades, all of which provide strong evidence for the existence of a suitable non-trivial fixed point with a finite number of relevant directions. Thus, it seems very likely that Quantum Gravity is non-perturbatively renormalizable. On the other hand, the status of Background Independence in the context of Asymptotic Safety remained largely unclear. It is a requirement on the global properties of the RG flow: there must exist RG trajectories which emanate from the fixed point in the UV and restore the broken split-symmetry (relating background to quantum fields) in the IR.Employing a ‘bi-metric’ ansatz for the EAA, we demonstrate for the first time in a non-trivial setting that the two key requirements of Background Independence and Asymptotic Safety can be satisfied simultaneously. Taken together they are even found to lead to an in- creased predictivity. A new powerful calculational scheme (‘deformed α = 1 gauge’) is introduced and applied to derive the beta-functions for the bi-metric Einstein-Hilbert truncation including a Gibbons-Hawking-York term. Exploring further the global properties of the RG flow, a generalized notion of a C-function is proposed and successfully tested for bi-metric RG trajectories consistent with Background Independence. As a byproduct, we also develop a new, completely general testing device to judge the reliability of truncated computations in the FRGE scheme. Furthermore, we investigate the occurrence of propagating graviton modes in the Asymptotic Safety scenario. The relevant properties of the graviton propagator depend on the sign of the anomalous dimension, ηof Newton’s coupling. While asymptotically safe RG trajectories possess a negative η in the UV, we observe that it turns positive in the semi-classical regime. This feature, not observed in the older single-metric truncations, is found relevant for the scale dependent (non-)occurrence of gravitational waves. The implications for the generation of primordial density perturbations in the early Universe are discussed. The second main focus of this thesis is the inclusion of boundary terms into the EAA. We present a detailed analysis of the Gibbons-Hawking-York functional and of its RG evolution induced by the bi-metric bulk invariants. This generalization to spacetime topologies with a non-empty boundary is particularly important in black hole thermodynamics. We observe a stabilization of their thermodynamical properties near the Planck scale.Unser heutiges Verständnis der fundamentalen Wechselwirk ungen beruht auf zwei sehr erfol- greichen Theorien großer Vorhersagekraft: der Allgemeine n Relativitätstheorie (ART) und dem Standardmodell der Teilchenphysik. Beim Versuch die klass ische Raumzeit mit der Quanten- natur der Materie zu verbinden, treten grundlegende konzep tionelle Probleme auf, die eng mit zentralen offenen Fragen der modernen Physik zusammenhäng en. Eine Lösung dieser Probleme scheint erst in einer Quantentheorie der Gravitation selbs t möglich zu sein. In der Konstruktion einer solchen Theorie treten jedoch neben der störungstheo retischen Nichtrenormierbarkeit der ART auch konzeptionelle Schwierigkeiten auf, die von der un abdingbaren Forderung nach Hin- tergrundunabhängigkeit herrühren. In dieser Arbeit wenden wir eine universelle, nicht-störun gstheoretische Methode an, die in den letzten Jahrzehnten zu weitreichenden Erkenntnisse n in den verschiedensten Bereichen der Physik geführt hat: die Funktionale Renormierungsgrup pengleichung (FRGE). Basierend auf der “Effective Average Action” (EAA) ist die Suche nach e iner geeigneten Quantenfeldthe- orie der Gravitation durch die von Steven Weinberg postulie rte Forderung nach asymptotis- cher Sicherheit bestimmt. Hierbei zeichnet sich eine (nich t-)störungstheoretisch renormierbare Theorie dadurch aus, dass ihr UV-Verhalten vollständig dur ch einen (nicht-)trivialen Fixpunkt (NGFP) des RG-Flusses kontrolliert wird, dessen UV-kritis che Hyperfläche endlich-dimensional ist. Dadurch ergibt sich ein klassisches Regime auf makrosk opischen Skalen, wohingegen die fundamentale (nackte) Theorie aus der Fixpunktbedingung f olgt und damit eine Vorhersage dieses Zugangs ist. Seit Ende der 90er Jahre die ersten Anzeichen für Asymptotis che Sicherheit auf Basis einer Einstein-Hilbert Rechnung gefunden wurden, hat sich in zah lreichen Erweiterungen und Mod- ifikationen der Hinweis auf die Existenz eines nicht-trivia len Fixpunktes der Gravitation stark verdichtet. Demnach scheint die Quantengravitation tatsä chlich im nicht-störungstheoretischen Sinn renormierbar zu sein Andererseits ist der Status der Hintergrundunabhängigkei t im Kontext der Asymptotischen Sicherheit noch weitgehend unklar, was maßgeblich damit zu sammenhängt, dass diese Frage mit globalen Eigenschaften des RG-Flusses zusammenhängt: Asymptotisch sichere RG-Trajek- torien die im UV an einem NGFP beginnen, müssen zusätzlich di e sogenannte Split-Symmetrie im IR erfüllen. Um dieser Fragestellung nachzugehen, betrachten wir in die ser Arbeit einen bi-metrischen Ansatz für die EAA und zeigen erstmalig, dass die Forderunge n nach Asymptotischer Sicher- heit und Hintergrundunabhängigkeit gleichzeitig erfüllt werden können. Es zeigt sich, dass dadurch die Vorhersagekraft des Zugangs sogar noch größer w ird. Wir entwickeln eine neue, leistungsstarke Methode, die auf einer ‘deformierten’ α = 1 Eichung basiert und es erlaubt, die RG-Gleichungen der bi-metrischen Einstein-Hilbert Trunk ierung, erweitert um einen Gibbons- Hawking-York Term, abzuleiten und zu studieren. Im zweiten Teil der Arbeit untersuchen wir allgemeine globa le Eigenschaften des RG- Flusses über den Rahmen der Quantengravitation hinaus und p ostulieren eine verallgemeinerte C -Funktion, welche das globale Verhalten der RG-Trajektori en bestimmt. Wir testen diesen Vorschlag erfolgreich anhand der obigen RG-Trajektorien f ür die Klasse der physikalisch rele- vanten Theorien mit Split-Symmetrie. Als Nebenprodukt erh alten wir eine allgemeine Methode zur Beurteilung der Güte von beliebigen Näherungslösungen der FRGE. Anschließend wenden wir die Resultate der obigen bi-metris chen Rechnung auf die Frage nach der Existenz propagierender Graviton-Moden im Rahmen der asymptotischen Sicherheit an. Die Eigenschaften des Gravitonpropagators werden wese ntlich durch das Vorzeichen der anomalen Dimension η der Newton-Kopplung bestimmt. Während asymptotisch siche re RG- Trajektorien im UV ein negatives η besitzen, zeigen unsere Untersuchungen, dass η im semik- lassischen Bereich positiv wird. Diese Eigenschaft war in v orhergehenden ‘single-metric’ Be- rechnungen nie gefunden worden. Wir untersuchen, auf welch en Skalen das Auftreten von pro- pagierenden Gravitationswellen zu erwarten ist und diskut ieren mögliche Auswirkungen auf die Erzeugung primordialer Dichtefluktuationen im frühen U niversum. Weiterhin betrachten wir Raumzeiten mit Rand, die Trunkier ungsansätze für die EAA mit Oberflächentermen erfordert. Wir stellen eine detailliert e Analyse des Gibbons-Hawking-York Funktionals vor und untersuchen sein RG-Verhalten, welche s durch die bi-metrischen Volumen- Terme induziert wird. Diese Verallgemeinerung des Formali smus ist von zentraler Bedeutung für die Thermodynamik schwarzer Löcher. Wir beobachten ein e thermodynamische Stabil- isierung schwarzer Löcher, deren Masse sich durch Hawking- Evaporation der Planck-Masse annäher