Statistical problems related to excitation threshold and reset value of membrane potentials

Die vorliegende Arbeit ist motiviert durch biologische Fragestellungen bezüglich des Verhaltens von Membranpotentialen in Neuronen. Ein vielfach betrachtetes Modell für spikende Neuronen ist das Folgende. Zwischen den Spikes verhält sich das Membranpotential wie ein Diffusionsprozess X der durch die SDGL dX_t= beta(X_t) dt+ sigma(X_t) dB_t gegeben ist, wobei (B_t) eine Standard-Brown'sche Bewegung bezeichnet. Spikes erklärt man wie folgt. Sobald das Potential X eine gewisse Exzitationsschwelle S überschreitet entsteht ein Spike. Danach wird das Potential wieder auf einen bestimmten Wert x_0 zurückgesetzt. In Anwendungen ist es manchmal möglich, einen Diffusionsprozess X zwischen den Spikes zu beobachten und die Koeffizienten der SDGL beta() und sigma() zu schätzen. Dennoch ist es nötig, die Schwellen x_0 und S zu bestimmen um das Modell festzulegen. Eine Möglichkeit, dieses Problem anzugehen, ist x_0 und S als Parameter eines statistischen Modells aufzufassen und diese zu schätzen. In der vorliegenden Arbeit werden vier verschiedene Fälle diskutiert, in denen wir jeweils annehmen, dass das Membranpotential X zwischen den Spikes eine Brown'sche Bewegung mit Drift, eine geometrische Brown'sche Bewegung, ein Ornstein-Uhlenbeck Prozess oder ein Cox-Ingersoll-Ross Prozess ist. Darüber hinaus beobachten wir die Zeiten zwischen aufeinander folgenden Spikes, die wir als iid Treffzeiten der Schwelle S von X gestartet in x_0 auffassen. Die ersten beiden Fälle ähneln sich sehr und man kann jeweils den Maximum-Likelihood-Schätzer explizit angeben. Darüber hinaus wird, unter Verwendung der LAN-Theorie, die Optimalität dieser Schätzer gezeigt. In den Fällen OU- und CIR-Prozess wählen wir eine Minimum-Distanz-Methode, die auf dem Vergleich von empirischer und wahrer Laplace-Transformation bezüglich einer Hilbertraumnorm beruht. Wir werden beweisen, dass alle Schätzer stark konsistent und asymptotisch normalverteilt sind. Im letzten Kapitel werden wir die Effizienz der Minimum-Distanz-Schätzer anhand simulierter Daten überprüfen. Ferner, werden Anwendungen auf reale Datensätze und deren Resultate ausführlich diskutiert.The present work is motivated by biological questions about the behavior of membrane potentials in neurons. A commonly used model for spiking neurons is to assume that between spikes the membrane potential is given by a diffusion process X which is a solution of an SDE dX_t= beta(X_t) dt+ sigma(X_t) dB_t where (B_t) is a standard Brownian motion. The spiking behavior is usually explained as follows. Whenever X reaches a certain excitation threshold S, a spike occurs. Thereafter the potential is set down to a certain reset value x_0 again. In applications it is sometimes possible to observe the diffusion process X between spikes by estimating the drift coefficient beta() and the diffusion coefficient sigma() from real data. Nevertheless, S and x_0 have to be determined in order to fix the model. However, in real data this is not obvious at all. One possible approach is to view x_0 and S as parameters in a statistical model and to estimate them. In the present work, we discuss four cases for which we assume the diffusion process between spikes is given by a Brownian motion with drift, a geometric Brownian motion, an Ornstein-Uhlenbeck process or a Cox-Ingersoll-Ross process. We further assume to observe iid inter spike times interpreted as level crossing times of X from x_0 to S. The first two cases are very similar and one can explicitly compute the maximum likelihood estimator. Moreover, we use LAN theory in order to get optimal results. The cases OU and CIR process are treated by a minimum distance method based on the comparison of empirical and true Laplace transform with respect to a Hilbert space norm. It will be shown that all estimators are strongly consistent and asymptotically normal. In the last chapter, we will check the performance of the minimum distance estimator by application to simulated data. Moreover, applications to real data sets are given, including a detailed discussion of the results