Existence of solutions and asymtptotic limits of the Euler-Poisson and the quantum drift-diffusion systems

My work concerns two different systems of equations used in the mathematical modeling of semiconductors and plasmas: the Euler-Poisson system and the quantum drift-diffusion system. The first is given by the Euler equations for the conservation of mass and momentum, with a Poisson equation for the electrostatic potential. The second one takes into account the physical effects due to the smallness of the devices (quantum effects). It is a simple extension of the classical drift-diffusion model which consists of two continuity equations for the charge densities, with a Poisson equation for the electrostatic potential. Using an asymptotic expansion method, we study (in the steady-state case for a potential flow) the limit to zero of the three physical parameters which arise in the Euler-Poisson system: the electron mass, the relaxation time and the Debye length. For each limit, we prove the existence and uniqueness of profiles to the asymptotic expansion and some error estimates. For a vanishing electron mass or a vanishing relaxation time, this method gives us a new approach in the convergence of the Euler-Poisson system to the incompressible Euler equations. For a vanishing Debye length (also called quasineutral limit), we obtain a new approach in the existence of solutions when boundary layers can appear (i.e. when no compatibility condition is assumed). Moreover, using an iterative method, and a finite volume scheme or a penalized mixed finite volume scheme, we numerically show the smallness condition on the electron mass needed in the existence of solutions to the system, condition which has already been shown in the literature. In the quantum drift-diffusion model for the transient bipolar case in one-space dimension, we show, by using a time discretization and energy estimates, the existence of solutions (for a general doping profile). We also prove rigorously the quasineutral limit (for a vanishing doping profile). Finally, using a new time discretization and an algorithmic construction of entropies, we prove some regularity properties for the solutions of the equation obtained in the quasineutral limit (for a vanishing pressure). This new regularity permits us to prove the positivity of solutions to this equation for at least times large enough.Meine Arbeit behandelt zwei unterschiedliche Systeme von Gleichungen, die in der mathematischen Modellierung von Halbleitern und Plasmen verwendet werden. Dies sind das Euler-Poisson-Modell und das Quantum-Drift-Diffusionsmodell. Das erste ist durch die Euler-Gleichungen für die Erhaltung der Masse und des Impulses, sowie die Poisson-Gleichung für das elektrostatische Potential gegeben. Das zweite Modell besteht ebenso aus der Poisson-Gleichung und eine Erweiterung der Driftdiffusionsgleichung zur Berücksichtigung von in diesen Bauteildimensionen auftretenden r Quanteneffekten. Für den stationären Fall eines Potentialflusses werden verschiedene Grenzwerte des Euler-Poisson-Modells mittels asymptotischer Entwicklungen untersucht. Speziell werden die Grenzwerte verschwindender Elektronenmasse, Relaxationszeit und verschindender Debyelänge analysiert. Für jeden dieser Grenzwerte werden Existenz und Eindeutigkeit der Lösung der asymptotischen Entwicklungen sowie entsprechende A-Priori-Abschätzungen bewiesen. Die Grenzwerte verschwindender Elektronenmasse sowie verschwindender Relaxationszeit stellen neue Ergebnisse da, die den Übergung vom Euler-Poisson-System zu den inkompressiblen Eulergleichungen beschreiben. Im Falle der asymptotischen Entwicklung für kleine Debye-Längen ermöglicht der hier verwendete Ansatz einen Beweis der Existenz, selbst wenn Randgrenzschichten auftreten. Das Euler-Poisson-System wird mit einem iterativen Verfahren mit Finiten-Volumen- und gemischten Finiten-Volumen-Methoden diskretisiert. Damit konnte die in der Analysis notwendige Bedingung für die Existenz der Lösung - eine Beschränkung auf kleine Elektronenmassen - numerisch verifiziert werden. Für das bipolare Quantum-Drift-Diffusionsmodell in einer Raumdimension haben wir mit einer Zeitdiskretisierung und Energieabschätzungen die Existenz der Lösung für ein allgemeines Dotierungsprofil gezeigt sowie den quasineutralen Grenzwert für ein verschwindendes Dotierungsprofil analysiert. Abschließend wird eine Verbesserung des Regularitätsresultats für den quasineutralen Grenzwert (für verschwindenden Druck) bewiesen, welches durch eine veränderte Zeitdiskretisierung und neue algorithmisch konstruierte Entropien gewonnen wird. Das neue Regularitätresultat erlaubt den Beweis der Positivität der Lösungen dieser Gleichung zumindest für hinreichend "grosse" Zeiten