Untersuchungen zum nichtstörungstheoretischen Renormierungsverhalten der Quanten-Einstein-Gravitation

Deutsche Version: Zunächst wird eine verallgemeinerte Renormierungsgruppengleichung für die effektiveMittelwertwirkung der EuklidischenQuanten-Einstein-Gravitation konstruiert und dann auf zwei unterschiedliche Trunkierungen, dieEinstein-Hilbert-Trunkierung und die$R^2$-Trunkierung, angewendet. Aus den resultierendenDifferentialgleichungen wird jeweils die Fixpunktstrukturbestimmt. Die Einstein-Hilbert-Trunkierung liefert nebeneinem Gaußschen auch einen nicht-Gaußschen Fixpunkt. Diesernicht-Gaußsche Fixpunkt und auch der Fluß in seinemEinzugsbereich werden mit hoher Genauigkeit durch die$R^2$-Trunkierung reproduziert. Weiterhin erweist sichdie Cutoffschema-Abhängigkeit der analysierten universellenGrößen als äußerst schwach. Diese Ergebnisse deuten daraufhin, daß dieser Fixpunkt wahrscheinlich auch in der exaktenTheorie existiert und die vierdimensionaleQuanten-Einstein-Gravitation somit nichtperturbativ renormierbar sein könnte. Anschließend wird gezeigt, daß der ultraviolette Bereich der$R^2$-Trunkierung und somit auch die Analyse des zugehörigenFixpunkts nicht von den Stabilitätsproblemen betroffen sind,die normalerweise durch den konformen Faktor der Metrikverursacht werden. Dadurch motiviert, wird daraufhin einskalares Spielzeugmodell, das den konformen Sektor einer``$-R+R^2$''-Theorie simuliert, hinsichtlich seinerStabilitätseigenschaften im infraroten (IR) Bereichstudiert. Dabei stellt sich heraus, daß sich die Theorieunter Ausbildung einer nichttrivialen Vakuumstruktur auf dynamische Weise stabilisiert. In der Gravitation könnteneventuell nichtlokale Invarianten des Typs $intd^dx,sqrt{g}R (D^2)^{-1} R$ dafür sorgen, daß der konformeSektor auf ähnliche Weise IR-stabil wird.Englische Version: A new exact renormalization group equation for the effectiveaverage action of Euclidean Quantum-Einstein-Gravity isconstructed. It is evaluated in two different truncations oftheory space, the Einstein-Hilbert truncation and the moregeneral $R^2$-truncation. Both truncations are investigatedin detail and the fixed point structure of the resultingflow is studied. The analysis establishes the existence of aUV attractive non-Gaussian fixed point. For both truncationsthe numerical predictions of the renormalization group flowin the fixed point regime agree with very high precision.Furthermore, the cutoff scheme dependence of severaluniversal quantities associated to the fixed point is ratherweak. Due to the consistency of the results the fixed pointfound is likely to exist also in the exact theory. Thiswould mean that fourdimensional Quantum-Einstein-Gravity isnonperturbatively renormalizable. It is also shown that, in the $R^2$-truncation, theinvestigation of the fixed point and thus of the ultravioletregime is not afflicted with the conformal factor problemone usually encounters in Euclidean gravity. Inspired bythis result a scalar toy model which mimics the conformalsector of a ``$-R+R^2$''-theory is studied with respect toits stability properties in the infrared regime. One findsthat the theory stabilizes itself in a dynamical way bydeveloping a nontrivial vacuum structure. It is tempting to speculate that a similar mechanism might be at work ingravity. Here nonlocal invariants of the type $ intd^dx,sqrt{g}R (D^2)^{-1} R$ might stabilize the conformalsector in the infrared regime