Contributions to Bayesian nonparametrics

This dissertation focuses on the frequentist properties of Bayesian procedures in a broad spectrum of infinite-dimensional statistical models via Bayesian nonparametric approaches. Three essays concern the asymptotic aspects of posterior distribution in various statistical models presented in the subsequent three chapters. In the context of multivariate density estimation discussed in Chapter 2, a Bernstein-Dirichlet prior is constructed in the space of multivariate densities on hypercube and the corresponding posterior contraction rate is obtained. We implement this model through a novel sampling algorithm based on a slice sampling scheme for the simulated and real data. In Chapter 3, we consider a Bayesian semiparametric approach for a linear regression model with conditional moment restrictions. The error variable follows a Gaussian distribution whose variance depends on the predictors. An adaptive Bayesian procedure is performed when the priors on the conditional standard deviation function are carefully constructed. Chapter 4 is devoted to the issue of posterior convergence rate for a broad range of priors. Motivated by the boundary support estimation problems where any constructed prior could not meet the usual criteria for large sample analysis of the posterior distribution, we develop a new yardstick that allows flexible prior selections to counteract these problems by the stronger model conditions and meanwhile the rate optimality property is maintained.Esta tesis se centra en las propiedades frecuentistas de los procedimientos Bayesianos dentro de un amplio espectro de modelos estadísticos de dimensión infinita a través de métodos no paramétricos Bayesianos. Se presentan tres ensayos sobre los aspectos asintóicos de la distribución a posteriori en varios modelos estadísticos introducidos en tres capítulos. En el Capítulo 2, dentro de un contexto de estimación Bayesiana de densidades, se construye una distribución a priori del tipo Berstein-Dirichlet en el espacio de densidades multivariantes en hipercubo unidad y se obtiene la tasa de convengencia de la distribución a posteriori correspondiente. Se desarrolla un nuevo algoritmo de muestreo para este modelo basado en métodos de “slice sampling” y se ilustra mediante datos simulados y reales. En el Capítulo 3, se considera un enfoque semiparamétrico Bayesiano para un modelo de regresión lineal con restricciones de momentos condicionales. La variable de error sigue una distribución Gaussiana cuya varianza depende de los predictores. Se desarrolla un procedimiento Bayesiano adaptativo en el que las distribuciones a priori sobre la función de desviación estándar condicional se construyen cuidadosamente. El Capítulo 4 está dedicado a la cuestión de la tasa de convergencia de la distribución a posteriori en una amplia gama de modelos a priori. Teniendo en cuenta los problemas de estimación en la frontera del soporte donde ning ´un modelo a priori puede cumplir los criterios habituales para el análisis de la distribucióon a posteriori en muestras grandes, se desarrolla un nuevo criterio que permite la selección de modelos a priori flexibles para contrarrestar estos problemas con condiciones del modelo más fuertes, manteniendo además la propiedad de tasa óptima.Programa Oficial de Doctorado en Ingeniería MatemáticaPresidente: Juan Miguel Marín Diazaraque.- Secretario: Nuria Torrado Robles.- Vocal: Fabrizio Leise