Statistique des réseaux : inférence, comparaison et classification. Application à la connectivité cérébrale

This manuscript presents my recent work on the statistical analysis of multivariate datastructured in a network (or graph). A node in the network corresponds to a time series,and the edges or connections are linking two nodes. My research results in the statisticalanalysis of networks are divided in three parts : the inference, the comparison, and theclassification of networks. Network inference consists in estimating the connections fromthe multivariate observations of a given system. The observed time series are often longmemory and the usage of wavelets in order to compute the correlations introduces a biasin the estimation. We define the fractal connectivity in order to design estimators of corre-lations that are not affected by the presence of long memory. The network is then obtainedby thresholding the correlations computed for pairs of nodes. The significant connectionsare extracted by using multiple testing procedures or maximum likelihood criterion opti-misations. Finally, I present applications of this research on the understanding of brainconnectivity. My objective is to quantify differences between healthy volunteers and pa-tients. We are using functional magnetic resonance imaging (fMRI) to acquire noninvasivedata on the brain functional process with a spatial resolution around 1 millimeter. Theacquired data are multivariate time series where each time series corresponds to a spatialregion of the brain. Networks for each subject are infered and then compared using topo-logical metrics like global efficiency or clustering, or using a score derived on a likelihoodcriterion. My investigations on new theoretical methods have been fertilised by their in-terdisciplinary context, at the intersection of signal and image processing, statistics andmedical applications with genuine clinical outreach.Dans ce mémoire, je m’intéresse à l’analyse statistique de données multivariées quisont structurées en réseaux (ou graphes). Chaque nœud du réseau correspond à une sérietemporelle et les connexions ou arêtes relient deux nœuds. Mes travaux de recherche surl’analyse statistique des réseaux se déclinent en trois parties : l’inférence, la comparaisonet la classification. L’inférence des réseaux consiste à estimer les connexions à partir desobservations multivariées. Les séries temporelles observées présentent souvent de la longuemémoire et dans le cas de séries temporelles multivariées, l’estimation des corrélations parondelettes est biaisée, nous avons donc introduit la notion de connectivité fractale qui per-met de prendre en compte la longue mémoire dans les estimateurs. Le réseau ou grapheest obtenu après un seuillage des connexions pour extraire seulement celles qui sont signi-ficatives, soit par exploitation de la notion de tests multiples soit par optimisation d’uncritère de vraisemblance. Enfin, dans le cadre de mon travail pour la compréhension dela connectivité cérébrale, l’objectif est de quantifier des différences entre populations desujets sains ou malades. L’imagerie par résonance magnétique fonctionnelle (IRMf) permetd’enregistrer le fonctionnement du cerveau de manière non invasive et avec une résolutionspatiale de l’ordre du millimètre. Les données recueillies sont donc des séries temporellesmultivariées correspondant à différentes régions spatiales du cerveau. Je me suis attachéeà développer des méthodes de comparaison ou de classification des réseaux basées soit surl’extraction de métriques toplogiques comme l’efficacité globale ou le clustering, soit sur ladéfinition d’un score dérivé d’un critère de vraisemblance. Mes recherches sur le dévelop-pement de nouvelles méthodes théoriques se sont toujours beaucoup enrichies du contexteinterdisciplinaire à l’interface du traitement du signal et des images, des statistiques et desapplications médicales. Les applications en neurosciences ont une portée clinique commel’étude de patients en état de conscience altérée