Le processus de contact sur le graphe Booléen

This thesis is a contribution to the mathematical study of interacting particle systems, and more precisely of random growth models representing a spreading shape over time in a lattice. These processes occur when one is interested in the evolution of a population or the spread of an epidemic. One of those models is the contact process introduced by Harris in 1974 with the goal of representing this specific spread. It is one of the simplest interacting particle systems that exhibits a critical phenomenon and today, in the cubic lattice, its behavior is well-known on each phase. Here, we study the standard contact process the Boolean graph which is a random graph in Rd. Our work in particular was motivated by the following result of L. M´enard and A. Singh: on this random network, the contact process admits a non-trivial phase transition. This is the first example of a non-bounded degree graph on which the phase transition of the contact process is non-trivial. We begin our work with a study of the supercritical Boolean model to find large scale regularity properties that allow us to adapt the usual approaches of the study of the contact process on the deterministic networks to the Boolean random framework. In our main result, we show that our model satisfies a deterministic asymptotic shape theorem. In fact, it appears that the large scale regularity properties mentioned above are sufficient to obtain an asymptotic shape theorem on other random graphsCette thèse s'inscrit dans l'étude des systèmes de particules en interaction et plus précisément dans celle des modèles de croissance aléatoire qui représentent une quantité qui grandit au cours du temps et s'étend sur un réseau. Ce type de processus apparaît naturellement lorsqu'on s'intéresse à l'évolution d'une population ou à la propagation d'une épidémie. L'un de ces modèles est celui du processus de contact introduit par T.E. Harris en 1974. Il compte parmi les plus simples à représenter une transition de phase ce qui a rendu son étude passionnante.Le processus de contact standard sur le réseau Zd est maintenant relativement bien connu sous toutes ses phases et on étudie maintenant des variantes naturelles de ce processus comme celle à laquelle nous nous intéressons ici : le processus de contact standard sur le graphe Booléen qui est un graphe aléatoire dans Rd. Notre travail a été motivé notamment par le résultat suivant de L. Ménard er A. Singh : sur ce réseau aléatoire, le processus de contact admet ube transition de phase non-triviale. C'est le premier exemple de graphe à degré non-borné sur lequel la transition de phase du processus de contact n'est pas triviale. Nous commençons notre travail par une étude du modèle Booléen surcritique pour dégager des propriétés de régularité à grande échelle. Ces propriétés nous permettent ensuite d'adapter les démarches usuelles de l'étude du processus de contact sur les réseaux déterministes au cadre aléatoire Booléen. Dans notre résultat principal, nous montrons un théorème de forme asymptotique déterministe pour notre modèle. En fait, il apparaît que les propriétés de régularité à grandes échelles mentionnées ci-dessus sont suffisantes pour montrer un théorème de forme asymptotique sur d'autres graphes aléatoire