Homologies d'algèbres Artin-Schelter régulières cubiques

Jury : Jacques Alev, Université de Reims (Président du jury) Roland Berger, Université de Saint Etienne (Directeur de thèse) Michel Dubois-Violette, CNRS (Examinateur) Bernhard Keller, Université Paris VII (Rapporteur) Thierry Lambre, Université de Clermont-Ferrand (Examinateur) Michel Van den Bergh, Limburgs Universitair Centrum (Belgique) (Rapporteur)The Hochschild homology of cubic Artin-Schelter regular algebras of type A with generic coefficients is computed. Let $A$ be such an algebra. We follow the method used by Van den Bergh (K-Theory 8 (1994) 213-230) in the quadratic case and consider this algebra as a deformation of a polynomial algebra with remarkable Poisson bracket. We compute the Poisson homology and show that the Brylinski spectral sequence degenerates. We use the fact that this algebra is generalized Koszul in the sense of R. Berger (J. Algebra 239 (2001) 705-734) and we give a new quasi-isomorphism between the Koszul resolution of $A$ by bimodules and the bar-resolution of $A$. The de Rham cohomology, cyclic and periodic cyclic homologies are deduced from the Hochschild homology using standard results. The Koszul property allows us to give an explicit quasi-isomorphism between the Hochschild cochain complex and the Hochschild chain complex. We get a Poincaré duality. Then we can deduce the Hochschild cohomology from the Hochschild homology of $A$. As a result, we get the center of $A$, which was not known. We give several complements. In particular we give an explicit injection from the Koszul resolution of $A$ by bimodules to the bar-resolution of $A$, available for every generalized Koszul algebra $A$.Les algèbres Artin-Schelter régulières sont des analogues non-commutatifs d'algèbres de polynomes. En dimension globale 3, ces algèbres graduées sont homogènes et ont des relations de degré 2 ou 3. Dans cette thèse, nous nous intéressons à certaines algèbres Artin-Schelter régulières de dimension globale 3, à relations cubiques. Nous commencons par calculer l'homologie de Hochschild des algèbres Artin-Schelter régulières de dimension globale 3, cubiques de type A à coefficients génériques. Soit $A$ une telle algèbre. Nous suivons la méthode employée par M. Van den Bergh (K-Theory 8 (1994) 213-230) dans le cas quadratique, en considérant cette algèbre comme déformation d'une algèbre de polynomes, avec crochet de Poisson remarquable. Nous calculons alors l'homologie de Poisson et nous montrons que la suite spectrale de Brylinski associée dégénère. Pour cela, nous utilisons le fait que cette algèbre est de Koszul au sens généralisé défini par R. Berger (J. Algebra 239 (2001) 705-734) et nous donnons un nouveau quasi-isomorphisme entre la résolution de Koszul de $A$ par des $A$-$A$-bimodules et la bar-résolution de $A$. Nous déduisons la cohomologie de de Rham, l'homologie cyclique et l'homologie cyclique périodique de l'homologie de Hochschild de $A$, en utilisant des résultats classiques. La propriété de Koszul généralisée nous permet d'écrire un quasi-isomorphisme explicite entre le complexe qui calcule la cohomologie de Hochschild de $A$ et le complexe qui calcule l'homologie de Hochschild de $A$, obtenant ainsi une dualité de Poincaré. Nous déduisons alors la cohomologie de Hochschild de $A$ de l'homologie de Hochschild de $A$. Nous déterminons le centre de $A$, ce qui n'était pas connu. Nous terminons par divers compléments. En particulier, nous explicitons une injection de la résolution de Koszul par des $A$-$A$-bimodules vers la bar-résolution de $A$, valable pour toute algèbre de Koszul généralisée $A$