An iterative graph expansion approach for the scheduling and routing of airplanes

A tourism company that offers fly-in safaris is faced with the challenge to route and schedule its fleet of airplanes in an optimal way. Over the course of a given time horizon several groups of tourists have to be picked up at airports and flown to their destinations within a certain time-window. Furthermore the number of available seats, the consumption of fuel, the maximal takeoff weight, and restrictions on the detour of the individual groups have to be taken into account. The task of optimally scheduling the airplanes and tour groups belongs to the class of vehicle routing problems with pickup and delivery and time-windows. A flow-over-flow formulation on the time expanded graph of the airports was used in the literature in order to model this problem as a mixed integer linear program. Most of the benchmark problems however could not be solved within a time limit of three hours, which was overcome by formulating the problem for a simplified (time-free) graph and the use of an incumbent callback to check for feasibility in the original graph. While this approach led to very good results for instances, where few time-free solutions were infeasible for the original problem, some instances remained unsolved. In order to overcome this problem we derive two new exact formulations that include time as variables. Although these formulations by themselves are not better than the approach from the literature, they allow for an effective construction of graphs which can be interpreted as intermediate graphs between the graph of airports and the expanded graph with vertices for each visit. Using similar relaxation techniques to the time-free approach and constructing these graphs based on solutions of the relaxations guarantees that only critical airports are expanded. A computational study was performed in order to compare the new formulations to the methods from the literature. Within a time limit of 3 hours the new approach was able to find proven optimal solutions for all previously unsolved benchmark instances. Furthermore the average computation time of all benchmark instances was reduced by 90 percent.Ein Reiseunternehmen, das Fly-in Safaris anbietet, stellt sich die Aufgabe, seine Flottenrouten und deren Zeitplanung optimal zu gestalten. In einem feststehenden Zeitraum müssen mehrere Touristengruppen unter Einhaltung von Fristen von ihrem aktuellen Aufenthaltsort per Flugzeug abgeholt und zu ihrem nächsten Zielflughafen geflogen werden. Weiterhin muss Rücksicht auf die beschränkte Anzahl von Sitzen, den Treibstoffverbrauch, das maximale Startgewicht und Bedingungen an die Umwege der einzelnen Gruppen genommen werden. Die Aufgabe, die Routen der Flugzeuge festzulegen und zeitlich zu planen, gehört zur Problemklasse der Vehicle Routing Probleme mit Pickup und Delivery und Zeitfenstern. Eine Flow-over-Flow Formulierung auf dem zeitexpandierten Graphen der Flughäfen wurde in der Literatur benutzt, um dieses Problem als gemischt-ganzzahliges lineares Programm zu formulieren. Allerdings konnten die meisten Benchmarkprobleme nicht innerhalb von einem Zeitlimit von drei Stunden gelöst werden, was dadurch behoben wurde, dass das Problem für einen vereinfachten (zeitfreien) Graphen formuliert und ein Incumbent Callback zum Überprüfen der Zulässigkeit für den ursprünglichen Graphen implementiert wurde. Während dieser Ansatz sehr gute Resultate für Probleminstanzen lieferte, bei denen nur wenige zeitfreie Lösungen für das ursprüngliche Problem unzulässig waren, blieben einige Instanzen ungelöst. Um dies zu verbessern, leiten wir zwei neue exakte Formulierungen her, die den Aspekt der Zeit als Variablen beinhalten. Obwohl diese Formulierungen für sich genommen nicht besser sind als der zeitfreie Ansatz aus der Literatur, erlauben sie eine effektive Konstruktion von Graphen, die als Zwischenstufen vom Graphen der Flughäfen und dem expandierten Graphen mit Knoten für jede Ankunft angesehen werden können. Die Benutzung von ähnlichen Relaxationstechniken wie im zeitfreien Ansatz und das Aufbauen dieser Graphen anhand von Lösungen der Relaxierungen garantiert, dass nur kritische Knoten expandiert werden. Eine Rechenstudie wurde durchgeführt, um die neuen Formulierungen mit den Methoden aus der Literatur zu vergleichen. Innerhalb eines Zeitlimits von drei Stunden war der neue Ansatz in der Lage, alle vorher ungelösten Benchmarkproblem bis zur beweisbaren Optimalität zu lösen. Außerdem wurde die durchschnittliche Rechenzeit um 90 Prozent reduziert