Evolutionary Optimization Techniques Applied to Solution of Large Linear Systems

Many fields of engineering and other applied sciences demand the use of the solution of algebraic linear systems. Depending on the mathematical model used to represent the phenomenon, the linear systems will have high dimensions. Traditionally, large linear systems are resolved by using iterative methods. The convergence of these methods depends on the eigenvalues of the coefficients matrix. Thus, when the coefficients matrix loses one of the following characteristics as being symmetric or positive definite, the iterative methods (stationary and nonstationary) lose efficiency. Many methods exist for solving the linear systems. The aim is to find the most effective method for a particular problem. However, a method that works well for one type of problem might not work so well for others. Indeed, it may not even work. Thus, several researches are still being developed and improved in this area of knowledge. The aim of this works is to propose the application of some techniques in solving large linear systems. On this purpose, classic no stationary iterative methods are tested (Conjugate Gradients, Minimal Residual, Bi-Conjugate Gradients, Generalized Minimal Residual) and compared with two evolutionary optimization methods, Differential Evolution and Genetic Algorithms. In this research, problems like bi-dimensional Laplace equation and identification indirect of dynamical forces are solved. The analytical solution is compared with the numerical solutions calculated by using the mentioned methods. Results are presented, analyzing the most important parameters and their influence on the convergence and efficiency of the tested methods.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível SuperiorDoutor em Engenharia MecânicaMuitos campos da engenharia e outras ciências aplicadas exigem a utilização da solução de sistemas lineares algébricos. Dependendo do modelo matemático usado para representar o fenômeno, os sistemas lineares são de elevada dimensão. Tradicionalmente, os grandes sistemas lineares são resolvidos através de métodos iterativos. A convergência destes métodos depende dos autovalores da matriz dos coeficientes. Assim, quando a matriz dos coeficientes perde uma das seguintes características como ser simétrica ou positiva definida, os métodos iterativos (estacionários e não estacionários) perdem a eficácia. Existem vários métodos para resolver os sistemas lineares. O objetivo é encontrar o método mais eficaz para um determinado problema. Infelizmente, um método que funciona bem para um tipo de problema pode não funcionar tão bem para outro. Na verdade, ele pode nem mesmo funcionar. Assim, várias pesquisas ainda estão sendo desenvolvidas e aprimoradas nesta área de conhecimento. O objetivo deste trabalho é propor a aplicação de algumas técnicas na solução de grandes sistemas lineares. A este propósito, são testados métodos iterativos não-estacionários clássicos (Gradientes Conjugados, Resíduos Mínimos, Gradientes BiConjugados) e comparados com os dois métodos de otimização evolutiva, Evolução Diferencial e Algoritmos Genéticos. Nesta pesquisa são resolvidos os problemas como a equação de Laplace bi-dimensional e identificação indireta de forças dinâmicas. A solução analítica é comparada com as soluções numéricas calculadas usando os métodos mencionados. Os resultados obtidos são apresentados, analisando os parâmetros mais importantes e sua influência sobre a convergência e eficiência dos métodos testados