Niedrigrang-Tensorzerlegungen für hochdimensionale Daten Approximation, Rekonstruktion und Vorhersage

In this thesis, we examine different approaches for efficient high dimensional data acquisition and reconstruction using low rank tensor decomposition techniques. High dimensional here refers to the order of the ambient tensor space in which the data is contained. Examples of such data include tomographic videos, solutions to parametric differential equations and quantum states of many particle systems. The major problem faced in any such high dimensional setting is the exponential scaling of the tensor space dimension with respect to the order, often referred to as the curse of dimensionality. A possible remedy are low rank tensor decomposition techniques, which allow for the storage and manipulation of a rich set of tensors in a data-sparse way, often avoiding the exponential scaling with respect to the order. Following the ideas of compressive sensing, we examine methods to exploit these very efficient representations to acquire high dimensional data from (incomplete) measurements. Our first approach uses randomized methods to construct a low rank representation using repeated random evaluations of the data. The second approach works non-intrusively and aims to reconstruct a complete low rank representation from different types of given incomplete measurements. The latter approach is known as the tensor recovery problem and contains as a special case the popular tensor completion problem. Finally, we employ tensor recovery techniques in a statistical learning setting to obtain low rank approximations of the complete solutions of parametric differential equations. This parametric representation in particular allows to predict the solution for any parameter combinations, even if those were not measured.Diese Arbeit untersucht unterschiedliche Methoden zur effizienten Erfassung und Rekonstruktion von hochdimensionalen Daten. Hochdimensional bezieht sich hierbei auf die Ordnung des Tensorraums, in dem die Daten dargestellt werden. Beispiele für hochdimensionale Daten in diesem Sinne sind tomografische Videos, Lösungen parametrischer partieller Differentialgleichungen, sowie Quantenzustände von Vielteilchensystemen. Das Hauptproblem in der Behandlung solch hochdimensionaler Systeme ist das exponentielle Skalieren der Dimension des Tensorraums bezüglich der Ordnung, der sogenannte Fluch der Dimensionen. Eine Möglichkeit solche Daten dennoch zu verwenden besteht in der Verwendung sogenannter Niedrigrang-Tensorzerlegungen. Diese Zerlegungen verallgemeinern den Matrixrang auf Tensoren höherer Ordnung und erlauben es sehr effizient mit Tensoren von niedrigem Rang zu arbeiten. Speziell erlauben sie teilweise eine linear in der Ordnung skalierende Darstellung entsprechender Niedrigrang-Tensoren. Den Ideen des compressive sensing folgend, untersuchen wir Methoden, die diese extrem effiziente Darstellung ausnutzen um hochdimensionale Daten aus Messungen zu bestimmen. Der erste Ansatz verwendet dazu wiederholte randomisierte Messungen der Daten, um eine Niedrigrang-Repräsentation zu konstruieren. Der zweite Ansatz verfolgt das Ziel eine Niedrigrang-Approximation aus vorgegebenen (unvollständigen) Messungen zu rekonstruieren. Dieser Ansatz ist als tensor recovery Problem bekannt und enthält als Spezialfall das bekannte tensor completion Problem. Im letzten Teil der Arbeit verwenden wir diese Rekonstruktionstechniken, um eine Niedrigrang-Darstellung für Lösungen von parametrischen partiellen Differentialgleichungen zu erlangen. Diese Niedrigrang-Darstellung erlaubt insbesondere, die Lösung einer solchen Differentialgleichung für beliebige Parameterkombinationen vorherzusagen