Numerical solution of the Poisson interface problem using the Correction Function Method framework

In this work we study the Poisson interface problem and a numerical method for its solution, the Correction Function Method. The Poisson interface problem complements the classical Poisson problem, a partial differential equation given in terms of the Laplacian operator, with jump conditions on the solution and its normal derivative along a co-dimension one interface inside the domain. Interface problems arise whenever materials with different properties come into contact, and thus have important applications in many fields of physics and engineering. The Correction Function Method (CFM) is a general framework to solve the Poisson interface problem in the wider context of finite difference methods. In essence, it modifies the finite difference stencils for nodes near the interface in order to take into account the jump conditions. However, these modifications are incorporated, using correction terms, to the right-hand side of the linear system deriving from the finite difference approximation of the partial differential equation, leaving the coefficient matrix identical to the one resulting from the regular Poisson problem. This is essential as many efficient linear solvers, termed "Fast Poisson solvers", are specifically designed to solve this system; by keeping the same matrix we can use them with no modification. In order to account for the multiple possible geometric configurations of the interface with respect to the finite difference stencil, we compute the correction terms locally using a functional minimization approach. Our specific implementation of the CFM is shown to be fourth-order accurate. We also present preliminary work towards a CFM-based Navier-Stokes solver for higher-order numerical simulation of multiphase flow.Dans ce mémoire, on étudie le problème de Poisson avec interface ainsi que'une méthode numérique de résolution de ce problème, la méthode de la fonction de correction (« Correction Function Method » ou CFM). Le problème de Poisson avec interface est basé sur le problème de Poisson classique, une équation aux dérivées partielles faisant intervenir l'opérateur laplacien. Il y ajoute des conditions de saut sur la solution ainsi que sur sa dérivée normale le long d'une interface de co-dimension un à l'intérieur du domaine de définition de l'équation. Les problèmes d'interface apparaissent lorsque deux matériaux ayant des propriétés différentes sont mis en contact, et ont donc des applications importantes dans plusieurs domaines en physique et en génie. La méthode de la fonction de correction fournit un cadre général pour la résolution numérique du problème de Poisson avec interface dans le contexte des méthodes de différences finies. Essentiellement, la méthode modifie les formules de différence finies pour les noeuds de discrétisation situées à proximité de l'interface, de façon à incorporer les conditions de saut. Toutefois, ces modifications sont apportées, à l'aide de termes de correction, au terme de droite du système linéaire résultant de la discrétisation par différences finies; la matrice de coefficients reste la même que pour le problème de Poisson standard. Ceci est essentiel puisque de nombreux solveurs linéaires efficaces, appelés « Fast Poisson solvers (solveurs de Poisson rapides) », sont spécifiquement conçus pour résoudre ce système. Le fait de garder la même matrice permet donc de les utiliser sans modifications. Afin de prendre en compte les multiples configurations géométriques de l'interface par rapport à la grille de discrétisation, les termes de correction sont calculés localement en minimisant une fonctionnelle. On montre que notre implémentation spécifique de la CFM converge à l'ordre quatre. On présente aussi des résultats préliminaires en vue de la conception d'un solveur des équations de Navier-Stokes basé sur la CFM, pour la simulation numérique à ordre élevé des écoulements multiphases