Equations polyharmoniques sur les variétés et études asymptotiques dans une équation de Hardy-Sobolev

This memoir can be divided into two parts. In the first part we study some non-linear elliptic problems involving critical Sobolev exponent for a polyharmomic operator on a Riemannian manifold. We show that the best constant of the Sobolev embedding on a manifold can be chosen as close as one wants to the Euclidean one, and as a consequence derive the existence of minimizers when the energy functional goes below a quantified threshold. Next we obtain higher energy solutions are by Coron’s topological method. We also adapt Lions’s concentration-compactness lemma on a Riemannian manifold and prove the decomposition of Palais-Smale sequences for a nonlinear problem as a sum of bubbles. This is a generalization of the celebrated 1984 result of Struwe for Polyharmonic operators on manifolds. In the second part we do a blow-up analysis of a sequence of solutions to the limiting Hardy-Sobolev equation with vanishing boundary singularity. In the absence of blow-up one obtains a minimizing solution to the Brezis-Nirenberg problem. In case blow up happens we obtain strong pointwise control on the blow-up sequence. Next, using the pointwise control and Pohozaev identity we localize the singularity, proving that the the point of singularity can be the only blow up point at the boundary.Ce mémoire est divisé en deux parties: Partie 1: Nous obtenons des résultats d'existence pour des problèmes au limite mettant en jeu des opérateurs polyharmoniques conformément invariants. Nous nous plaçons indifféremment dans le cas d'une variété riemannienne avec ou sans bord. En particulier, nous montrons que la meilleure constante de Sobolev sur les variétés est exactement la constante euclidienne. En conséquence, nous montrons l'existence d'une solution d'énergie minimale lorsque la fonctionnelle descend en-dessous d'un seuil quantifié, Puis nous montrons l'existence de solutions de haute énergie en utilisant le méthode topologique de Coron. Nous généralisons la decomposition des suites de Palais-Smale comme somme de bulles sur une variété avec ou sans bord: il s'agit d'un résultat dans l'esprit de célèbre théorème de Struwe en 1984. Nous obtenons aussi une version du lemme de compacité-concentration de Pierre-Louis Lions sur les variétés. Partie 2: Dans cette partie, nous effectuons une analyse de blow-up pour une équation de hardy-Sobolev à croissance critique et à singularité évanescente au bord. En supposant que l'équation limite n'admet pas de solution minimisante, nous étudions le comportement asymptotique dune suite de solutions de l'équation perturbée. Ici, la perturbation est la singularité à l'origine. Dans un premier temps, nous obtenons un contrôle ponctuel optimal des la suite de solutions.Dans un second temps, nous obtenons des informations précises sur le point d'explosion en utilisant une identité de Pohozaev