Méthodes de discrétisation hybrides pour les problèmes decontact de Signorini et les écoulements de Bingham

This thesis is concerned with the devising and the analysis of hybrid discretization methods for nonlinear variational inequalities arising in computational mechanics. Salient advantages of such methods are local conservation at the cell level, robustness in different regimes and the possibility to use polygonal/polyhedral meshes with hanging nodes, which is very attractive in the context of mesh adaptation. Hybrid discretization methods are based on discrete unknowns attached to the mesh faces. Discrete unknowns attached to the mesh cells are also used, but they can be eliminated locally by static condensation. Two main applications of hybrid discretization methods are addressed in this thesis. The first one is the treatment using Nitsche’s method of Signorini’s contact problem (in the scalar-valued case) with a nonlinearity in the boundaryconditions. We prove optimal error estimates leading to energy-error convergence rates of order (k + 1) if face polynomials of degree k ≥ 0 are used. The second main application is on viscoplastic yield flows. We devise a discrete augmented Lagrangian method applied to thepresent hybrid discretization. We exploit the capability of hybrid methods to use polygonal meshes with hanging nodes to perform local mesh adaptation and better capture the yield surface. The accuracy and performance of the present schemes are assessed on bi-dimensionaltest cases including comparisons with the literature.Cette thèse s’intéresse à la conception et à l’analyse de méthodes de discrétisation hybridespour les inégalités variationnelles non linéaires apparaissant en mécanique des fluides et dessolides. Les principaux avantages de ces méthodes sont la conservation locale au niveau desmailles, la robustesse par rapport à différents régimes de paramètres et la possibilité d’utiliserdes maillages polygonaux / polyédriques avec des nœuds non coïncidants, ce qui est très intéressant dans le contexte de l’adaptation de maillage. Les méthodes de discrétisation hybridessont basées sur des inconnues discrètes attachées aux faces du maillage. Des inconnues discrètesattachées aux mailles sont également utilisées, mais elles peuvent être éliminées localement parcondensation statique. Deux applications principales des discrétisations hybrides sont abordées dans cette thèse. La première est le traitement par la méthode de Nitsche du problème decontact de Signorini (dans le cas scalaire) avec une non-linéarité dans les conditions aux limites. Nous prouvons des estimations d’erreur optimales conduisant à des taux de convergenced’erreur d’énergie d’ordre (k + 1), si des polynômes de face de degré k ≥ 0 sont utilisés. Ladeuxième application principale concerne les fluides à seuil viscoplastiques. Nous concevonsune méthode de Lagrangien augmenté discrète appliquée à la discrétisation hybride. Nous exploitons la capacité des méthodes hybrides d’utiliser des maillages polygonaux avec des nœudsnon coïncidants afin d’effectuer l’adaptation de maillage local et mieux capturer la surface limite. La précision et la performance des schémas sont évaluées sur des cas tests bidimensionnels,y compris par des comparaisons avec la littérature