Optimal portfolios for partially informed investors in a financial market with gaussian drift and expert opinions

In dieser Arbeit untersuchen wir optimale Portfoliostrategien für nutzenmaximierende Investoren in einem zeitstetigen Finanzmarktmodell, bei dem die Drift durch einen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess modelliert wird, welcher nicht direkt beobachtbar und vom Investor aus den ihm zur Verfügung stehenden Information zu schätzen ist. Da die optimalen Handelsstrategien sehr sensibel auf die Driftparameter reagieren, benötigen Investoren möglichst genaue Driftschätzungen auf der Basis der ihnen zur Verfügung stehenden Informationen. Die Konstruktion solcher Schätzungen allein aus der Kenntnis von historischen Marktdaten liefert allerdings in der Praxis nur unbefriedigende Ergebnisse, da Drifteffekte in den Daten durch eine starke Volatilität überlagert werden. Aus diesen Gründen beziehen Investoren für die Bestimmung ihrer Anlagestrategien auch andere externe Informationsquellen ein, um die Einschätzung der unbekannten Drifts zu verbessern. Dabei handelt es sich z.B. um Wirtschaftsnachrichten, Unternehmensberichte, Ratings, Empfehlungen von Finanzanalysten oder die eigene individuelle Sicht auf die zukünftige Preisentwicklung. Solche externen Informationen werden in der Literatur Expertenmeinungen genannt. Die Arbeit klassifiziert die Experten in drei Kategorien: Expertenmeinungen zu vorab bekannten Zeitpunkten, zu zufälligen Zeitpunkten und in stetiger Zeit. Für Vergleichszwecke betrachten wir weiterhin das Modell ohne Expertenmeinungen und ein Modell mit vollständig beobachtbarer Drift. Darauf aufbauend behandeln wir dynamische Nutzenmaximierungsprobleme für den Potenz-Nutzen. Diese überführen wir unter Verwendung von Filter- und Maßwechseltechniken in risikosensitive stochastische optimale Steuerungsprobleme. Bei den Modellen ohne Expertenmeinungen bzw. mit einem zeitstetigen Experten ist der gesteuerte Zustand ein Diffusionsprozess und es gelingt, geschlossene Lösungen für die Kontrollprobleme anzugeben. Für das Modell mit Expertenmeinungen zu bekannten Zeitpunkten erfolgt die Lösung des Optimierungsproblems durch eine Rückwärtsrekursion. Im Modell mit Expertenmeinungen zu zufälligen Zeitpunkten ist die zugehörige DPE eine partielle Integro-Differentialgleichung (PIDE), welche im Diffusionsteil des Differentialoperators degeneriert ist. Dies verhindert die Anwendung klassischer Existenz- und Eindeutigkeitsresultate für die Lösung der PIDE und von entsprechenden Verifikationssätzen für das Kontrollproblem. Mit Hilfe einer Regularisierungstechnik definieren wir durch die Hinzufügung eines Diffusionstermes eine Familie von Kontrollproblemen und zeigen, dass die zugehörigen Wertfunktionen gegen die Wertfunktion des ursprünglichen Kontrollproblems konvergiert, wenn der Diffusionsterm gegen Null geht. Da eine analytische Lösung der PIDE nicht zu erwarten ist, kommen in der Arbeit numerische Lösungsverfahren zum Einsatz. Diese diskretisieren die PIDE mit Hilfe von Differenzenschemata und numerischen Integrationsmethoden. Die theoretischen Resultate der Arbeit werden durch Ergebnisse umfangreicher numerischer Experimente illustriert.This thesis investigates optimal portfolio strategies for utility maximizing investors in a continuous-time financial market. The drift is modelled by an Ornstein-Uhlenbeck process, which is not directly observable and has to be estimated from observable quantities. Because optimal strategies are very sensitive to the drift parameters, investors need accurate drift estimates based on the information available to them. However, the construction of such estimates solely from past market data yields unsatisfactory results in practice since drift effects are overshadowed by a high volatility. For those reasons, when determining their investment strategy, investors also include external sources of information to obtain a better estimate of the drift. Among those sources are: business news, corporate reports, credit ratings, recommendations from financial analysts and their personal view of future price developments. Such external information is called expert opinion in the literature. This thesis classifies the experts into three categories: expert opinions at previously known times, at random times and in continuous time. For the purpose of comparison we also examine the model without expert opinions as well as a model with fully observable drift. Building up on this we consider dynamic utility maximization problems for power utility. They are transformed into risk-sensitive stochastic optimal control problems using filters and changes of measure techniques. For the models without expert opinions and the one with continuous time expert opinions, the controlled state is a diffusion process and closed-form solutions to the control problems can be found. For the model with expert opinions at known times, the optimization problem is solved by a backward recursion. In the model with expert opinions arriving at random times, the state process is a jump-diffusion process and the associated dynamic programming equation is a partial integro-differential equation (PIDE) that is degenerated in the diffusion part of the differential operator. This precludes the application of classical existence and uniqueness results for the solution of the PIDE as well as corresponding verification theorems for the control problem. Using a regularization technique employing an additional diffusion term we construct a family of control problems and show that the associated value functions converge to the value function of the original control problem as the error term used for the regularisation goes to zero. Since an analytical solution to the PIDE cannot be expected, we use numerical solution methods. They discretize the PIDE using difference schemes and numerical integration methods. The theoretical results of the work are illustrated by results of extensive numerical experiments