A control approach to complexity : from molecular vibrational dynamics to competition games on networks

La creciente comprensión de las leyes que rigen la realidad a nuestro alrededor conlleva una búsqueda continua que data de siglos de avances científicos. Actualmente conocemos los principios físicos asociados a muchos sistemas reales, y nuestro entendimiento de un extenso abanico de fenómenos de la realidad ha alcanzado un alto nivel de madurez. Esta evolución del conocimiento ha permitido a la humanidad el diseño de mecanismos, estrategias, aparatos y algoritmos destinados a dominar la dinámica asociada en innumerables aplicaciones y tecnologías. Muchos de estos logros están relacionados con la teoría de control, que es usada en una amplia variedad de escenarios en la industria, la automoción, el sector aeroespacial, la robótica, etc. Todos ellos tienen una fuerte dependencia en el conocimiento de áreas de la física como la mecánica de fluidos, mecánica clásica y cuántica, electromagnetismo, etc. siendo todas ellas disciplinas que actualmente han sido ya ampliamente desarrolladas y comprendidas por la comunidad científica. Por otro lado, en los últimos años se ha alcanzado un conocimiento más avanzado en muchas áreas cuya complejidad impedía hasta ahora una comprensión apropiada de su comportamiento. Este es el caso de muchos campos que actualmente están siendo estudiados desde un nuevo punto de vista, como los mercados bursátiles, las tendencias en la opinión pública, las redes genéticas, la propagación de enfermedades, la neurociencia, etc. La realidad es inherentemente compleja, y el siglo XXI está llamado a ser el de la complejidad, según la opinión de S. Hawking, H. Pagels o E. Wilson [W1198]. Los sistemas complejos son aquéllos cuyo comportamiento es difícil de modelar debido a la naturaleza de las dependencias e interacciones entre sus partes, y la comprensión de dichos sistemas es actualmente una tarea de intensa actividad. La llamada teoría de la complejidad agrupa muchas disciplinas tan diversas como las redes complejas, los fenómenos de emergencia, la teoría del caos, etc. Los fenómenos estructurales y dinámicos que se observan en muchas circunstancias son ahora comprendidos a un mejor nivel gracias a la introducción de nuevas herramientas de análisis (e.g. teoría de redes complejas). Como en el caso de fenómenos más clásicos referidos más arriba, en el caso de sistemas complejos cabe esperar que la ciencia busque métodos y herramientas para el control de dicha complejidad en el beneficio de entidades particulares y de la comunidad general en las sociedades modernas. Por eso el control de sistemas complejos es ya un área de intensa investigación. Esta tesis sigue esta línea de trabajo y se centra en el estudio de los sistemas complejos desde el punto de vista de la teoría de control. El primer problema que hemos estudiado es el control de la dinámica vibracional de sistemas moleculares, de una gran relevancia debido a las aplicaciones en el control de reacciones químicas. El estudio que se ha realizado aquí aporta importantes conclusiones relacionadas con el control de dicha dinámica mediante un campo electromagnético externo variable en el tiempo. En particular se estudia el sistema molecular HCN perturbado mediante un láser de frecuencia variable, en términos del análisis transiciones entre régimen regular y caótico, la disocación molecular y la relación entre ambos con la frecuencia de control del laser usado para excitar las moléculas. Hemos observado que si la frecuencia del láser está en resonancia con las frecuencias del sistema, la proporción de caos es mayor y aumenta la probabilidad de disociación de la molécula. Por otro lado si las relaciones de frecuencia son muy irracionales (multiplos de la razón áurea) más trayectorias regulares sobreviven. Un problema en principio muy diferente, pero que también es estudiado desde la perspectiva del control de sistemas complejos es de juegos en redes. Cuando el control se realiza por parte de dos equipos con finalidades contrarias emergen determinadas dinámicas de juegos. En esta tesis se analizan los escenarios con una red compleja cuyos elementos presentan una dinámica de consenso, y que se pretende controlar mediante una acción externa. El consenso en redes complejas es muy importante debido a sus numerosas aplicaciones (redes sociales, dinámica de genes, mercados de capital, etc.) Frecuentemente se establecen juegos entre equipos que compiten por influir en el comportamiento de los componentes de una red, cada uno de acuerdo a sus intereses. En esta tesis se presentan resultados analíticos y numéricos importantes sobre juegos y consensos en redes complejas, como la solución óptima para la selección de las acciones que han de realizar los miembros de un equipo para maximizar el beneficio debido al estado de los elementos de la red objetivo. El estado de dicha red se considera como un recurso por el que se compite, como en el caso de partidos políticos que se disputan el voto popular en una elección, o el de la competencia entre dos empresas por la fidelidad de los clientes en un determinado mercado. Adicionalmente, se ha obtenido el diseño óptimo para la red de conexión a la población objetivo que un equipo debería implementar para maximizar los beneficios disponibles. Además, se ha estudiado el caso donde cada equipo lucha por solo una parte de la población, y la dinámica del juego lleva entonces a un equilibrio de Nash que depende de los parámetros que definen el juego. Esta tesis presenta los fundamentos teóricos así como resultados numéricos asociados. La metodología presentada permite su aplicación en numerosos escenarios de competición entre equipos. ----------ABSTRACT---------- The ever-increasing understanding of the inherent laws underpinning the reality around us is a continuous quest that goes back to centuries of scientific advances. The foundational physical principles associated to many real systems have been discovered more than a century ago, and at this point our comprehension of a wide range of phenomena around us has reached a high level of maturity. This evolution in knowledge has eventually allowed mankind to design mechanisms, strategies, devices and algorithms aiming to dominate the associated dynamics in numerous applications and technologies. Many of these accomplishments are related to control theory, which is used in a wide range of scenarios in industry, automation, aerospace, robotics, etc. It should be remarked that these fields have a heavy reliance on the knowledge of physics such as fluid dynamics, classical and quantum mechanics, electromagnetism, etc, all these disciplines being by now strongly developed and understood by the scientific community. In recent decades, however, a step beyond has been achieved on many areas whose complexity prevented until recently from a proper explanation of their inherent behaviour. This is the case of many fields which are now being tackled from a different point of view, such as stock markets, public opinion trends, gene networks, illness propagation, neuroscience, etc. Reality is complex by definition, and in fact ours is meant to be the century of complexity, according to distinguished minds such as S. Hawking, H. Pagels or E. Wilson [Wil98]. The comprehension of complex systems will be one of the subjects of study and research addressed from many different institutions, academia, private companies, etc. The so called complexity theory encompasses many different disciplines such as complex networks, emergency, chaos theory, etc. The structural and dynamical phenomena observed in many circumstances are better understood with the introduction of these new tools of analysis. As in the case of more classical phenomena listed above, in the case of complex systems it is natural that science will make every effort to acquire tools for the control of such complexity in the benefit of particular entities or for the common wealth in modern societies. Control of complex systems is therefore an area already subject to an intensive research activity. Following this rationale, this thesis addresses the topic of complex systems from the perspective of control theory. One of the studied problems is the subject of control of molecular vibrational dynamics, which is very relevant in chemistry due to the applications in chemical processes, etc. The research conducted here provides an important insight in terms of control of those dynamics by means of an external time-varying magnetic field. In particular, a laser-perturbed HCN molecular system is studied, in terms of transitions between chaotic and regular dynamics, molecular dissociation, and the relation of both of them with the frequency of excitation laser. It has been observed that if the laser frequency is in resonance with the intrinsic vibrational frequencies of the system, the ratio of chaos trajectories increases, with a higher probability of molecular dissociation. On the other hand, if the ratio between the laser and the system frequencies is very irrational, regular trajectories survive. The topic of consensus on complex networks is also very important with many practical applications (social networks, gene dynamics, capital markets, etc). Games between competing teams are established aiming to influence the collective behaviour of the components of the network according to the interest of each team, which in many cases will be conflicting with those of the opponent. In the research conducted in this thesis, several important conclusions have been reached on this regard. An optimal solution has been obtained in the selection of actions to be conducted by one of the teams in order to maximize the retrieved benefit associated to the state of the members of a target network of resources which are subject to consensus dynamics. Such network constitutes a population on which two teams compete, as for example the case of political parties competing for the popular vote on a given election. An alternative example is the competition between two companies on the fidelity of clients within a certain market. Furthermore, this thesis has obtained the best design of the connecting network to the population that one team should deploy in order to maximize achievable benefits. Moreover, it has studied the case where each team targets only part of the general population, for which game dynamics lead to a Nash equilibrium that depends on generic parameters present in the setup of the game. Therefore, the optimal control of the state of the population against the interest of the opponent team is presented in this thesis, allowing its application of such strategy to numerous scenarios