Application de méthodes de réduction de modèles aux problèmes d'électromagnétisme basse fréquence

In the electrical engineering field, numerical simulation allows to avoid experiments which can be expensive, difficult to carry out or harmful for the device. In this context, the Finite Element Method has become to be one of the most used approach since it allows to obtain precise results on devices with complex geometries. However, these simulations can be computationally expensive because of a large number of unknowns and time-steps, and of strong nonlinearities of ferromagnetic materials to take into account. Numerical techniques to reduce the computational effort are thus needed. In this context, model order reduction approaches seem well adapted to this kind of problem since they have already been successfully applied to many engineering fields, among others, fluid and solid mechanics. A first class of methods allows to seek the solution in a reduced basis, allowing to dramatically reduce the number of unknowns of the numerical model. The most famous technics are probably the Proper Orthogonal Decomposition, the Proper Generalized Decomposition and the Arnoldi Projection. The second class of approaches consists of methods allowing to reduce the computational cost associated to nonlinearities, using interpolation methods like the Empirical Interpolation Method and the Gappy POD. This Ph.D. has been done within the LAMEL, the joint laboratory between the L2EP and EDF R&D, in order to identify and implement the model order reduction methods which are the most adapted to electrical engineering models. These methods are expected to reduce the computational cost while taking into account the motion of an electrical machine rotor, the nonlinearities of the ferromagnetic materials and also the mechanical and electrical environment of the device. Finally, an error indicator which evaluates the error introduced by the reduction technic has been developed, in order to guarantee the accuracy of the results obtained with the reduced model.Dans le domaine de l'électrotechnique, la simulation numérique permet de s'affranchir d'essais qui peuvent être coûteux ou difficiles à réaliser. La Méthode des Éléments Finis est ainsi devenue une approche de référence dans ce contexte car elle permet d'obtenir des résultats précis sur des systèmes aux géométries complexes. Or, la simulation numérique d’un dispositif électrotechnique peut s’avérer coûteuse en temps de calcul du fait d’un nombre d’inconnues et de pas de temps important, ainsi que de fortes non-linéarités des matériaux ferromagnétiques. Il est alors nécessaire de mettre en œuvre des techniques permettant de réduire les temps de calcul nécessaires à la résolution de tels modèles numériques. Les méthodes de réduction de modèles semblent bien adaptées à ce type de problèmes car elles ont déjà été appliquées avec succès dans de nombreux domaines de l’ingénierie, notamment en mécanique des fluides et du solide. Une première catégorie de méthodes permet de rechercher la solution dans une base réduite afin de diminuer le nombre d’inconnues du modèle numérique. Pour ce type d’approche, les méthodes les plus connues sont la Proper Orthogonal Decomposition, la Proper Generalized Decomposition et la Projection d’Arnoldi. Une seconde catégorie regroupe les approches permettant de réduire le coût de calcul dû aux phénomènes non linéaires, grâce à des méthodes d’interpolation telles que l‘Empirical Interpolation Method et la Gappy POD. Cette thèse CIFRE a ainsi été effectuée dans le cadre du LAMEL (laboratoire commun entre le L2EP et EDF R&D) avec pour but d’identifier et d’implémenter les méthodes de réduction les mieux adaptées à l’électrotechnique. Celles-ci devront être capables de réduire le coût de calcul tout en prenant en compte le mouvement du rotor, les non-linéarités des matériaux ferromagnétiques mais aussi l’environnement électrique et mécanique du dispositif. Enfin, un indicateur évaluant l’erreur commise par le modèle réduit a été développé, offrant ainsi la garantie d’une précision suffisante sur les résultats