Bifurcations and complex instability in a 4-dimensional symplectic mapping

Si svolge uuno studio dettagliato delle soluzioni periodiche principali di due mappe simplettiche bidimensionali accoppiate, calcolandone sia analiticamente che numericamente le biforcazioni per piccoli valori del parametro di accoppiamento \u3bc. Quasi tutte le famiglie di periodo 2n (n 7b0) prodotte dalle biforcazioni presentano regioni di instabilit\ue0 complessa che si estendono da \u3bc=0 fino al massimo valore di \u3bc considerato. Queste regioni di instabilit\ue0 complessa impediscono il trasferimento della stabilit\ue0 di una famiglia a famiglie di ordine pi\uf9 elevato. In un solo caso si osserva una famiglia la cui regione di instabilit\ue0 complessa non arriva ad estendersi fino al valore massimo di \u3bc; in questo caso per\uf2 il trasferimento della stabilit\ue0 viene interrotto da una biforcazione inversa. Se ne conclude che, nonostante I'esistenza di una famiglia di infinite biforcazioni di tipo Feigenbaum nel caso limite bidimensionale (\u3bc=0), tutte le sequenze si interrompono se il sistema \ue8 a quattro dimensioni. Il formarsi di regioni di instabilit\ue0 complessa per \u3bc 60 0 pu\uf2 essere previsto studiando il caso \u3bc=0 ed appplicando il teorema di Krein-Moser.We study the main periodic solutions of a 4-dimensional symplectic mapping composed of two coupled 2-dimensional mappings. Their bifurcations were calculated numerically and also theoretically for small values of the coupling parameter \u3bc. Most bifurcating families of period 2n (n 7b0) have complex unstable regions that extend from \u3bc=0 to the maximum allowed value of \u3bc for each family. These complex unstable regions do not allow the transmisssion of the stability of the corresponding families to families of higher order. We found only one family with a complex unstable region not extending to the maximum \u3bc, but in this case also the transmission of the stability is stopped at an inverse bifurcation. Thus although there are infinite sequences of bifurcations (of the Feigenbaum type) in the limiting 2-dimensional case \u3bc=0, all such sequences are interrupted when the system is 4-dimensional (i.e. for \u3bc 600). The appearance of complex instability for \u3bc=0 can be predicted by studying the cases \u3bc=0 and applying the Krein-Moser theorem