Variational solution of the elastic wave equation

Die elastische Wellengleichung beschreibt das zeitliche Verhalten eines Kontinuums im Rahmen der klassischen linearen Elastizitätstheorie. In der vorliegenden Arbeit wird die Lösung des Cauchyproblems für dieses System linearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit Hilfe von Variationsmethoden präsentiert. Zunächst wird gezeigt, wie sich die elastische Wellengleichung aus der allgemeinen Bewegungsgleichung der Kontinuumsmechanik ergibt, wodurch das mathematische Modell motiviert wird. In weiterer Folge wird die variationelle Lösungsmethode diskutiert, welche auf dem Konzept von schwachen Lösungen beruht. Insbesondere wird die abstrakte Version dieser Methode in Hilberträumen erklärt. Die Beweise von Existenz, Eindeutigkeit und Regularität von Lösungen des abstrakten Cauchyproblems für eine allgemeine lineare Evolutionsgleichung zweiter Ordnung bilden den Hauptteil der Arbeit. Schließlich werden diese Ergebnisse auf die elastische Wellengleichung angewandt und somit die Lösbarkeit in Sobolewräumen für beschränkte und positive Materialparameter gezeigt.The elastic wave equation describes the evolution of a continuous body within the framework of classical linearized elasticity. We solve the Cauchy problem for this linear second-order system of partial differential equations via the variational approach. First we motivate the mathematical model and show how the elastic wave equation arises from the general equation of motion in continuum mechanics. Next we discuss the variational solution method which is based on the concept of weak solutions. In particular, we explain the abstract formulation of this method in Hilbert spaces. In the main part of the thesis, variational techniques are employed to establish existence, uniqueness, and regularity results for an abstract Cauchy problem associated to a general linear second-order evolution equation. Finally we apply these results to the elastic wave equation in a Sobolev space setting, assuming bounded and positive material parameters