Računanje i analiza matrične funkcije drugi korijen

Općenitu matričnu funkciju sam definirala pomoću Jordanove forme matrice. Ukoliko je definirana na spektru neke matrice, matrična funkcija ima vrlo dobra svojstva koja su korisna dok radimo sa matričnom funkcijom drugi korijen. To su npr. komutacija matrične funkcije sa matricom, blok trokutasta matrica se preslikava u blok trokutastu, blok dijagonalna u blok dijagonalnu, svojstvene vrijednosti u svojstvene vrijednosti funkcije itd. Svako rješenje od \(X^2 = A\) zovemo drugim korijenom od A. Ako je matrica A regularna ili singularna sa svojstvenom vrijednosti nula koja ima istu algebarsku i geometrijsku kratnost, funkcija drugi korijen je definirana na spektru od A. Ako je matrica singularna sa svojstvenom vrijednosti nula koja nema istu geometrijsku i algebarsku kratnost, drugi korijeni ne moraju postojati. Drugi korijen regularne matrice se dijeli u dvije klase. Prva sadrži konačno mnogo primarnih drugih korijena, dok druga može biti prazna ili sadrži beskonačno mnogo drugih korijena koji dijele isti spektar. Glavni drugi korijen se definira za matrice koje nemaju svojstvenih vrijednosti na \(R^-\). Taj drugi korijen je jedinstven i njegove svojstvene vrijednosti leže u otvorenoj desnoj poluravnini. Za Schurovu metodu je dan algoritam za računanje drugog korijena posebno za regularnu matricu gdje je složenost \(O(n^3)\), te posebno za singularnu sa svojstvenom vrijednosti nula koja ima istu algebarsku i geometrijsku kratnost gdje se računanje drugog korijena svodi na rješavanje linearnog sustava. Za Newtonovu metodu sam koristila i neka svojstva matrične funkcije \(sign\). Newtonova metoda je takoder opisana za regularnu matricu gdje konvergira kvadratno prema \(A^{\frac{1}{2}} sign(A^{-\frac{1}{2}} X_0)\), dok sam za singularnu matricu dokazala da postoji drugi korijen uz određene uvjete na matricu. Iteracije koje sam opisala imaju različita svojstva stabilnosti. Newtonova iteracija je u principu nestabilna u \(A^{\frac{1}{2}}\) osim ako svojstvene vrijednosti od A nisu vrlo blizu grupirane. Ostale izvedene verzije Newtonove iteracije su sve stabilne u \(A^{\frac{1}{2}}\). Nadalje sam prikazala nekoliko posebnih matrica koje imaju dobra svojstva za izračun matričnog drugog korijena. Binomna ekspanzija koju sam prikazala sa \((I-C)^{\frac{1}{2}}\) neće konvergirati za \(\rho(C) > 1\), no binomna iteracija će konvergirati i izvan tog radijusa dok god su joj svojstvene vrijednosti unutar kardiode. Uz binomnu iteraciju objasnila sam što su M-matrice i H-matrice te pokazala da za te regularne matrice postoji jedinstveni glavni drugi korijen koji je istog svojstva kao i dana matrica. Na kraju vidimo i kako je Hermitskoj pozitivno definitnoj matrici jednostavno računati matrični drugi korijen pomoću faktorizacije Choleskog i polarne dekompozicije.General matrix function is defined via Jordan canonical form. If function is defined on the spectrum of some matrix, matrix function has some very good properties which are useful for matrix square root like commutation of matrix function and matrix, block triangular matrix is mapped in block triangular matrix, block diagonal matrix is mapped in block diagonal matrix, eigenvalues of matrix are mapped in eigenvalues of function of that matrix and so on. Every solution of equation \(X^2 = A\) is called a square root of A. If matrix A is nonsingular or singular with a semisimple zero eigenvalue, the matrix square root is defined on the spectrum of A. In other cases matrix square root doesn’t have to exist at all. The square roots of a nonsingular matrix fall into two classes. The first class comprises finitely many primary square roots and second class may be empty or it comprises a finite number of square roots which are sharing the same spectrum. The principal square root is defined for matrices which have no eigenvalues on \(R^-\). It is a unique square root all of whose eigenvalues lie in the open right half-plane. I gave the algorithms for computing the square root via a Schur decomposition especially when a matrix is nonsingular where complexity is \(O(n^3)\), and especially when a matrix is singular with a semisimple zero eigenvalue where computing the square root can be solved by solving a linear system. Through Newton’s method I used some properties of matrix \(sign\) function. Newton’s method is also described for a nonsingular matrix where iteration converges quadratically to \(A^{\frac{1}{2}} sign(A^{-\frac{1}{2}} X_0)\); while for a singular matrix is proven that the square root exists if matrix is under some conditions. The iterations which I described have different stability properties. The Newton iteration is unstable at \(A^{\frac{1}{2}}\) unless the eigenvalues of A are very closely clustered. The other versions of Newton’s iteration are all stable at \(A^{\frac{1}{2}}\). Further I showed few special matrices which all have good properties to compute matrix square root. Although the binomial expansion which I described with \((I-C)^{\frac{1}{2}}\) does not converge for \(\rho(C) > 1\), the iteration nevertheless continues to converge when the eigenvalues of C lie outside the unit disk but within the cardioid. Except the binomial iteration, I explained what are M-matricces and H-matrices and I showed that for that kind of regular matrices the principal square root exists and it is also M or H-matrix. At the end we can see also how Hermitian positive definite matrix is good for computing the square root via Cholesky factorization and polar decomposition