Matrix product operator symmetries in topological phases of matter

Symmetrien --- eine zentrales Konzept in der modernen Physik --- spielen eine wichtige Rolle in der Formulierung vieler wichtiger physikalischen Theorien, wie z.B. der speziellen und allgemeinen Relativätstheorie, der Quantenmechanik und diverser Feldtheorien bis hin zum Standardmodell der Teilchenphysik. Topologische Invarianz im Speziellen ist eine sehr starke Symmetrie, die dem tiefgreifenden Verständnis von kooperativen Phänomenen in kondensierter Materie (wie z.B. dem Quanten-Hall-Effekt), welche sich als erstaunlich robust gegenüber Störungen und Verunreinigungen erweisen, zugrunde liegt. In dieser Doktorarbeit wird ein theoretisches Grundgerüst entwickelt, das in der Lage ist, sowohl globale als auch topologische Symmetrien von sogenannten Tensornetzwerkzuständen zu beschreiben, und das Zugang zu universalen physikalischen Kenngrößen für die Klassifizierung von verschiedenen Phasen kondensierter Materie gewährt. Zu Beginn wird ein allgemeiner Formalismus für die Beschreibung physikalischer und virtueller Symmetrien von Projected Entangled Pair State (PEPS)-Tensornetzwerken in zwei räumlichen Dimensionen entwickelt, welche aus der Kontraktion vieler Kopien ein und desselben elementaren, lokalen Tensors konstruiert werden. Dieser elementare Tensor verbindet physikalische, ortslokale Symmetrien mit virtuellen Matrixproduktoperator (MPO)-Symmetrien, welche auf die virtuellen Verschränkungsfreiheitsgrade wirken und die Grundbausteine des neuen Formalismus darstellen. Insbesondere werden jene Systeme untersucht welche nur topologisch triviale Anregungen beinhalten um daraus die Klassifikation von symmetrie-geschützten topologischen Phasen herzuleiten. Ein Eichverfahren wird dann genau auf diese Zustände angewandt wobei gleichsam die globale Symmetrie auf eine Menge von lokalen Eichbedingungen transformiert wird. Weiters wird die daraus resultierende MPO-Symmetrietransformation dargelegt und die hieraus entstehende topologische Phase der Eichsysteme hergeleitet. Im nächsten Schritt wird die Relevanz dieser MPO-Symmetrien für eindimensionale Oberflächenphysik untersucht. Es stellt sich heraus, dass die MPO’s als Dualitätsabbildung zwischen gegapten Phasen, welche an kritischen Punkten zu Symmetrien werden, verstanden werden können. Solch ein Phasenübergang ist durch eine resultierende konforme Feldtheorie (CFT) beschrieben. Unter Verwendung der MPO Symmetrien werden topologische Sektoren, welche nichtlokale scaling Felder beinhalten können, von dieser CFT konstruiert und deren physikalische Eigenschaften studiert. Wir entwickeln dann die allgemeine Theorie von MPO Synnetrien, welche wir mit den graduierten unitären Fusions-Kategorien identifizieren. Eine Methode zur Konstruktion von Tensor-Netzwerk-Darstellungen der Superauswahl-Sektoren, einschließlich der für extrinsische Symmetrie -Defekte, wird gegeben. Die universellen physikalischen Daten der emergenten Symmetrie-angereicherten topologischen Ordnung wird aus diesen Darsellungen abgeleitet. Der Effekt der Eichung der globalen Symmetrie wird berechnet und stellt sich als dual zum Prozess der Anyon-Kondensation, welcher von der Brechung der virtuellen MPO Symmetrie herrührt. Ein Tensor-Netzwerk-Ansatz wird verwendet zur Konstruktion von Hamiltonians welche neue Phasen der Materie in drei räumlichen Dimensionen realisieren. Dies stellt ein Beispiel des allgemeinen Rahmens der Tensor-Netzwerk-Darstellungen von Zustandssummen, Hamiltonians, Grundzuständen, und deren Symmetrien der topologischen Quantenfeldtheorien (TQFT). Eine große Klasse von Beispielen wird abgeleitet aus einer TQFT welche kürzlich mit Hilfe der definierenden Daten einer Symmetrie-angereicherten topologischen Ordnung konstruiert wurde. Zuletzt wird eine Verallgemeinerung der Eich-Prozedur gegeben für Symmetrien die auf Unterräumen des Gitters wirken, möglicherweise von fraktaler Dimension, welche diese auf lokale Eich-Constraints abbildet. Dies wirft neues Licht auf exotisch fracton topologische Phasen, einschließlich Haah's cubic code, welche in Termen von Symmetrien und Eichung verstanden werden können.Symmetry has played an essential role in the development of modern physics, from the theories of special and general relativity, to quantum mechanics, field theory and the standard model. Topological invariance is a very strong symmetry that underpins our profound understanding of emergent phenomena in condensed matter systems, such as the quantum Hall effect, that are remarkably robust to perturbation and impurity. In this thesis, we develop a theoretical framework that accommodates both global and topological symmetries of tensor network states and facilitates the extraction of universal physical data to classify the emergent phases of matter. We begin by setting up a general formalism for the study of physical and virtual symmetries of projected entangled pair state (PEPS) tensor networks in two spatial dimensions, which are constructed by contracting many copies of a local tensor. The local tensor intertwines on-site physical symmetries to virtual matrix product operator (MPO) symmetries, acting on the entanglement degrees of freedom, which constitute the basic building blocks of our formalism. The subclass of systems that support only topologically trivial excitations is treated in detail, from which the classification of symmetry-protected topological phases is recovered. A gauging procedure is applied directly to these states, thereby promoting the global symmetry to a set of local gauge constraints. The transformation thus induced upon the MPO symmetry is found and the emergent topological order of the gauged system is derived. Next we study the role played by these MPO symmetries in the one-dimensional boundary physics. The MPOs are found to act as duality maps between gapped phases that become symmetries at a phase transition point. Such a phase transition is described by an emergent conformal field theory (CFT). We use the MPO symmetries to construct topological sectors of the CFT, which support nonlocal scaling fields, and derive their physical properties. We proceed to develop the general theory of MPO symmetries, which we identify with unitary graded fusion categories. A method to construct tensor network representations of the superselection sectors, including those for extrinsic symmetry defects, is given. The universal physical data of the emergent symmetry-enriched topological order is derived from these representations. The effect of gauging the global symmetry is calculated and is found to be dual to an anyon condensation process that is induced by breaking the virtual MPO symmetry. A tensor network approach is used to construct Hamiltonians that realize new phases of matter in three spatial dimension. This exemplifies a general framework for tensor network representations of topological quantum field theory (TQFT) partition functions, Hamiltonians, ground states, and their symmetries. A large class of examples are derived from a TQFT that was recently constructed using the defining data of a symmetry-enriched topological order. Finally, a generalization of the gauging procedure is developed for symmetries that act on subsets of the lattice, possibly of fractal dimension, which maps them to local gauge constraints. This sheds new light on exotic fracton topological phases, including Haah's cubic code, allowing them to be understood in terms of symmetries and gauging