On the range of the derivate of a smooth function and applications

We survey recent results on the structure of the range of the derivative of a smooth real valued function f defined on a real Banach space X and of a smooth mapping F between two real Banach spaces X and Y . We recall some necessary conditions and some sufficient conditions on a subset A of L(X; Y ) for the existence of a Fr¿echet-differentiable mapping F from X into Y so that F0(X) = A. Whenever F is only assumed G¿ateaux-differentiable, new phenomena appear : we discuss the existence of a mapping F from a Banach space X into a Banach space Y , which is bounded, Lipschitz-continuous, and so that for all x; y 2 X, if x 6= y, then kF0(x) ¡ F0(y)kL(X;Y ) > 1. Applications are given to existence and uniqueness of solutions of Hamilton-Jacobi equations.Recogemos recientes resultados sobre la estructura del rango de la derivada de una función real f definida en un espacio de Banach real X y de una aplicación diferenciable F entre dos espacios de Banach reales X e Y . Listamos algunas condiciones necesarias y otras suficientes acerca de un subconjunto A de L(X; Y ) para la existencia de una aplicación diferenciable Fréchet F de X en Y de modo que F0(X) = A. Cuando se supone tan solo que F es Gâteaux diferenciable, aparecen nuevos fenómenos: discutimos la existencia de una aplicación F de un espacio de Banach X en un espacio de Banach Y acotada, Lipschitz-continua, de tal manera que, para todo x; y 2 X, si x 6= y, entonces kF0(x) ¡ F0(y)kL(X;Y ) > 1. Se dan aplicaciones a la existencia de soluciones de ecuaciones de Hamilton-Jacobi