Random operators to model integer valued autoregressive processes

Dissertação de Mestrado em Matemática apresentada à Faculdade de Ciências e TecnologiaMuitos são os fenómenos e atividades que geram séries temporais de valores inteiros não negativos. A modelação apropriada das respetivas observações exclui os modelos clássicos, baseados em processos reais, como os modelos ARMA. Neste contexto existe já uma vasta classe de modelos de valores inteiros, entre os quais se encontram, por exemplo, os modelos INARMA, construídos a partir de operações aleatórias inteiras que substituem a multiplicação escalar usual. No presente trabalho, são estudados três modelos desta classe, os modelos autorregressivos INAR(1), NGINAR(1) e DCINAR(1), os quais são funcionalmente idênticos embora construídos a partir de operadores aleatórios diferentes. Começa-se por estudar os operadores aleatórios subjacentes a estes três modelos, estabelecendo as propriedades necessárias aos resultados subsequentes. Depois de estabelecida a estacionaridade dos processos e obtidos os primeiros momentos, caracteriza-se a relação entre as distribuições marginais do processo principal e do processo residual, considerando alguns casos particulares. No primeiro modelo, INAR(1), é considerado o caso em que o processo principal tem distribuição marginal de Poisson bem como o caso em que tal distribuição é geométrica. Nos outros dois modelos, NGINAR(1) e DCINAR(1), considera-se o caso em que a distribuição marginal do processo principal é geométrica. Por último, considerando as distribuições marginais acima referidas para o processo principal, obtêm-se estimadores para os parâmetros dos modelos estudados e aplicam-se os resultados a uma série temporal observada.Many are the phenomena and activities which generate non-negative integer-valued time series. The appropriate modelling for these observations does not include the classical models, based on real processes, such as ARMA models. Within this context there is already a large class of integer-valued models, including, for example, the INARMA models, which have been developed from integer-valued random operations, which replace the usual scalar multiplication. In the present work, we study three models of this class, the autoregressive models INAR(1), NGINAR(1) and DCINAR(1), which are functionally identical but developed from different random operations. We begin to study the random operators underlying this three models by establishing the necessary properties for the results below. After we have established the stationarity of the processes and gathered the first moments, we characterize the relationship between the marginal distributions of the main process and the distribution of the residual process by considering some particular cases. In the first model, INAR(1), we consider the case that the marginal distribution of the main process is Poisson as well as the case that such distribution is geometric. In the other two models, NGINAR(1) and DCINAR(1), we consider the case that the marginal distribution of the main process is geometric. Lastly, by considering the mentioned above distributions of the main process, we obtain the estimators for the parameters of the models and we apply the results to an observed temporal series