APPROXIMATION DE PROCESSUS DE DIFFUSION À COEFFICIENTS DISCONTINUS EN DIMENSION UN<br /> ET APPLICATIONS À LA SIMULATION

In this thesis numerical schemes for processes /X/ generated byoperators with discontinuous coefficients are studied.A first scheme for the one-dimensional case uses DifferentialStochastic Equations with Local Time. Indeed, in dimension one, theprocesses /X/ are solutions of such equations. We construct a grid onthe real line, that is transformed by a proper bijection in a uniformgrid of step /h/. This bijection also transforms /X/ in some process/Y/, that behaves locally like a Skew Brownian Motion (SBM). We knowthe transition probabilities of the SBM on a uniform grid, and theaverage time it spends on each of its cells. A random walk can thenbe built, that converges to /X/ in square root of /h/. A secondscheme, that is more general, is proposed still for the dimensionone. A non uniform grid on the real line is given, whose cells have asize proportional to /h/. Both the transition probabilities of /X/ onthis grid, and the average time it spends on each of its cells, canbe related to the solutions of proper elliptic PDE problems, usingthe Feynman-Kac formula. A time-space random walk can then be built,that converges to /X/ again in square root of /h/. Next somedirections to adapt this approach to the two-dimensional case aregiven. Finally numerical exemples illustrate the studied schemes.Dans cette thèse on étudie des schémas numériques pour des processus/X/ à coefficients discontinus. Un premier schéma pour le casunidimensionnel utilise les Équations Différentielles Stochastiquesavec Temps Local. En effet en dimension un les processus /X/ sontsolutions de telles équations. On construit une grille sur la droiteréelle, qu'une bijection adéquate transforme en une grille uniformede pas /h/. Cette bijection permet de transformer /X/ en /Y/ qui secomporte localement comme un Skew Brownian Motion, pour lequel onconnaît les probabilités de transition sur une grille uniforme, et letemps moyen passé sur chaque cellule de cette grille. Une marchealéatoire peut alors être construite, qui converge vers /X/ en racinede /h/. Toujours dans le cas unidimensionnel on propose un deuxièmeschéma plus général. On se donne une grille non uniforme sur ladroite réelle, dont les cellules ont une taille proportionnelle à/h/. On montre qu'on peut relier les probabilités de transition de/X/ sur cette grille, ainsi que le temps moyen passé par /X/ surchacune de ses cellules, à des solutions de problèmes d'EDPelliptiques ad hoc. Une marche aléatoire en temps et en espace estainsi construite, qui permet d'approcher /X/ à nouveau en racine de/h/. Ensuite on présente des pistes pour adapter cette dernièreapproche au cas bidimensionnel et les problèmes que cela soulève.Enfin on illustre par des exemples numériques les schémas étudiés