Théorie de Mourre et Opérateurs de Schrödinger: De nouvelles classes d'opérateurs conjugués

In this thesis, we are interested in the study of the essential spectrum of Schrödinger operators and more particulary in the obtention of a Limiting Absorption Principle for these operators. This Limiting Absorption Principle consists on the existence of a limit for the resolvent operator when the spectral parameter is near the essential spectrum and permits to know some properties about the group generated by the Schrödinger Hamiltonian we study. A technique to prove this Limiting Absorption Principle is to use the Mourre theory. This theory needs to use an other operator called the conjugate operator. When we want to apply the Mourre theory to Schrödinger operators, we usually used a conjugate operator named the generator of dilations. This operator implies some conditions of decay on the derivatives of the potential which can be a problem in certain cases. In this thesis, we will apply the Mourre theory with other types of conjugate operators wich, for some of them, does not imply any conditions on the derivatives of the potential.In a first part, we will be interested in Schrödinger operators on the euclidian space. We will show a Limiting Absorption Principle at positive energy, a Limiting Absorption principle at zero energy and the absence of eigenvalue embedded in the essential spectrum. In a second part, we will be interested in Schrödinger operators on wave guides for which we will prove a Limiting Absorption Principle far thresholds and near thresholds.Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’étude du spectre essentiel d’opérateurs de Schrödinger et tout particulièrement à l’obtention d’un Principe d’Absorption Limite pour ces opérateurs. Ce Principe d’Absorption Limite consiste en l’existence d’une limite de l’opérateur résolvante lorsque le paramètre spectral se rapproche du spectre essentiel et permet de connaitre des informations sur le groupe engendré par l’Hamiltonien de Schrödinger. Une méthode pour montrer ce Principe d’Absorption Limite est d’utiliser la théorie de Mourre. Cette théorie nécessite l’utilisation d’un autre opérateur appellé opérateur conjugué. Lorsqu’on veut appliquer la théorie de Mourre aux opérateurs de Schrödinger, on utilisehabituellement un opérateur conjugué nommé le générateur des dilatations. Cet opérateur implique que les dérivées du potentiel doivent avoir une certaine décroissance ce qui peut être gênant dans certains cas. Dans cette thèse, nous appliquerons le théorème de Mourre avec d’autres types d’opérateurs conjugués, dont certains n’impliquent pas de conditions de dérivabilité.Dans une première partie, nous nous intéresserons aux opérateurs de Schrödinger sur l’espace euclidien pour lesquels nous montrerons un Principe d’Absorption Limite à énergie strictement positive, un Principe d’Absorption Limite à énergie nulle et l’absence de valeurs propres plongées dans le spectre essentiel. Dans une seconde partie, nous nous intéresserons aux opérateurs de Schrödinger sur des guides d’ondes pour lesquels nous montrerons un Principe d’Absorption Limite loin des seuils et un Principe d’Absorption Limite près des seuils