Stochastic analysis for Lévy processes : chaos expansions, invariances and infinite-dimensional processes

Diese Arbeit liefert neue Resultate in drei Bereichen der Stochastischen Analysis für Lévy-Prozesse: In einem ersten Teil werden quadratintegrable Zufallsvariablen, deren Zufälligkeit von einem reellwertigen Lévy-Prozess herrührt, hinsichtlich ihrer Invarianzeigenschaften bezüglich Gruppen von Zeitpermutationen des zugrunde liegenden Lévy-Prozesses charakterisiert. Als wichtiges Hilfsmittel dient die Darstellung der Zufallsvariablen mittels Wiener-Itô-Chaoszerlegung. Die Invarianzeigenschaften übertragen sich auf die deterministischen Kerne, welche die Zufallsvariable darstellen. Aufgrund der bekannten Struktur können damit Aussagen zur Stabilität unter messbaren Abbildungen sowie Charakterisierungen über eingeschränkte Chaoszerlegungen für invariante Unterräume getätigt werden. Weiters wird der Begriff der „lokalen Ergodizität“ eingeführt, um eine Produktstruktur im invarianten Chaos zu erhalten. Der zweite Teil beschäftigt sich mit Lévy-Prozessen mit Werten in vollständigen lokalkonvexen Suslin-Räumen, einer geeigneten Definition und Bedingungen für die Existenz einer Lévy-Itô-Zerlegung, also einer pfadweisen Zerlegung des Prozesses in unabhängige Diffusions- und Sprunganteile. Der Beweis erfolgt mittels einer Reduktion des Anteils der kleinen Sprünge auf einen kompakt eingebetteten separablen Banachraum und der Verwendung einer schwachen Metrik auf dem lokalkonvexen Raum. Ersteres ist jedoch nur unter der Bedingung der lokalen Reduzierbarkeit des Lévy-Maßes möglich. Eine zusätzliche Eigenschaft des Raumes, die separable Erweiterbarkeit, garantiert die lokale Reduzierbarkeit für alle Lévy-Maße. Diese Eigenschaft ist beispielsweise von allen Banach- und Frécheträumen sowie den üblichen Räumen von Distributionen und Testfunktionen erfüllt. Im dritten Teil werden bekannte Chaoszerlegungen für Gaußsche isonormale Familien und Poissonsche Zufallsmaße adaptiert, um sie auch für die Fälle von vektorwertigen Wiener- und reinen Sprung-Lévy-Prozessen zu erhalten. Kombiniert mit den Ergebnissen des zweiten Teils ermöglicht dies einen kurzen Beweis einer Chaoszerlegung für Lévy-Prozesse mit Werten in vollständigen lokalkonvexen Suslin-Räumen.In this thesis, new results in three fields of stochastic analysis of Lévy processes are obtained: In a first part, invariance properties of random variables with finite variance are investigated, whose randomness originates from a real-valued Lévy process. The groups of transformation maps under consideration permute the times of the underlying Lévy process. The Wiener-Itô chaos expansion serves as an important tool for the analysis of the invariance properties due to their deterministic counterpart in the chaos kernels representing the random variable. The known structure in the chaos allows the characterization of the invariance properties by means of measurability or reduced chaos expansions for invariant subspaces of random variables. Furthermore, the notion of "local ergodicity" yields a product structure of the invariant chaos. The second part is about Lévy processes with values in complete locally convex Suslin spaces. A useful definition and conditions for the existence of a Lévy-Itô decomposition of sample paths are elaborated. In order to prove a decomposition into independent diffusion and jump processes, a new reduction method for the small jumps of the process will be introduced. If the Lévy measure is "locally reducible", there is a compactly embedded separable Banach space on which the small jumps are concentrated. Furthermore, the additional condition on the state space to be separably extendable ensures that every Lévy measure has this property. Banach and Fréchet spaces as well as the usual spaces of distributions and test functions share this property among many other spaces. In the third part of the thesis, known chaos expansions for Gaussian isonormal families and Poisson random measures are adapted in order to prove chaos expansions of Wiener processes and pure-jump Lévy processes in the vector-valued case. Their combination and the results of the second part allow a short proof of a chaos expansion theorem of vector-valued Lévy processes in complete locally convex Suslin spaces.Florian BaumgartnerAbweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des VerfassersZsfassung in dt. SpracheInnsbruck, Univ., Diss., 2015OeBB(VLID)45063