Stable discretization and robust multilevel methods for convection-diffusion problems

The dynamics of concentration of small particles or other substance ruled by external velocity flow field plays a significant role for research and applications in natural science and industry. A big variety of such problems are described mathematically as convection-diffusion-reaction equations coupled with Stokes or Navier-Stokes system. We consider both transient and stationary convection-diffusion-reaction equations. Convection-dominated regime that occurs for relatively small diffusion coefficient or discontinuous highly oscillating diffusion coefficients occurring in porous media are amongst the most challenging cases in these problems and an important field in numerical analysis and simulations. In this thesis we choose a particular exponential fitting scheme (in literature called an edge-averaged finite element, EAFE, method) which is applied to the finite element approximation of the problem. It results in a monotone system matrix in the system of linear equations. We construct an iterative method to solve these linear discrete systems based of preconditioned GMRES algorithm. In order to determine a suitable preconditioner we construct a family of algebraic multigrid (AMG), including multilevel iterations, methods and select the most robust options that show stable convergence rate of the algorithm for all reasonable cases of problem parameters. For the introduced EAFE method we also provide error analysis for non-stationary case and compare the performance of the constructed solvers with the same solvers for a well-known SUPG (streamline-upwind Petrov-Galerkin) method in a series of numerical experiments. The described above approach is finally used for numerical solution of a particular optimal control problem with convection-diffusion equation as a constraint.Die dynamische Verteilung der Konzentration von kleinen Partikeln oder anderen Substanzen, die durch ein äußeres Geschwindigkeitsflussfeld beherrscht werden, spielt eine wichtige Rolle in der Forschung sowie in zahlreichen Anwendungen in den Naturwissenschaften und der Industrie. Viele dieser Probleme finden ihre mathematische Beschreibung in Form von Konvektions-Diffusions-Reaktionsgleichungen gekoppelt mit Stokes oder Navier-Stokes-Systemen. In dieser Arbeit werden sowohl transiente als auch stationäre Konvektions-Diffusionsgleichungen betrachtet. Konvektionsdominiertes Regime, das für relativ kleine Diffusionskoeffizienten auftritt, oder diskontinuierliche, stark oszillierende Diffusionskoeffizienten, wie etwa in porösen Medien, führen auf die schwierigsten Klassen derartiger Probleme und zu einem wichtigen Feld der numerischen Analyse und Simulation. In dieser Arbeit wählen wir ein bestimmtes "exponential fitting" Schema, das in der Literatur auch als "edge-averaged finite element (EAFE)" Methode bezeichnet wird. Dieses beruht auf der Finite-Elemente-Approximation des Problems. Wir konstruieren iterative Methoden, um die diskreten Probleme auf der Grundlage des vorkonditionierten GMRES-Algorithmus zu lösen. Um einen geeigneten Vorkonditionierer zu erhalten, betrachten wir eine Familie von algebraischen Mehrgitter (AMG) Verfahren, einschließlich mehrstufiger Iterationen und bestimmen die robustesten Optionen, die eine stabile Konvergenzrate des Algorithmus für den gebräuchlichsten Wertebereich der Problemparameter zeigen. Für die eingeführte EAFE-Methode bieten wir auch eine Fehleranalyse für den instationären Fall. Der beschriebene Ansatz wird schließlich für die numerische Lösung eines bestimmten Optimalsteuerungsproblems mit der Konvektions-Diffusions-Gleichung als Nebenbedingung verwendet.eingereicht von Nadir Bayramov, MSc.Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des VerfassersIn Zusammenarbeit mit dem Johann Radon Institute for Computational and Applied MathematicsUniversität Linz, Dissertation, 2017OeBB(VLID)247493