Isogeometrical Analysis based Shape Optimization

Shape optimization problems arise in many different scientific and engineering areas, e.g., in mechanical engineering or electrical engineering. For many practical problems, the underlying object of interest is represented by B-splines or NURBS due to computer-aided design software. Many properties of such objects of interest depend on the solution of a partial differential equation (PDE). So far the B-spline or NURBS based computer model is usually decomposed into finite elements for the analysis. Additionally, this has the consequence that usually the boundary of the model has to be approximated with polygonal subdomains. In 2005, a new idea came up for such problems, called isogeometric analysis (IgA). In IgA, we use the same basis functions (B-splines or NURBS) for both representing the geometry and approximating the solution of the PDE under consideration. Thus, there is no approximation of the geometry of the object of interest constructed by means of some computer-aided design program. Although the finite element method (FEM) is a well established method for shape optimization this new idea seems to be beneficial because on the one hand no conversion of the models is necessary, which can be computationally very costly. On the other hand, because geometry conversion is not needed, we have an exact representation of the domain. In this thesis, we will investigate IgA for shape optimization problems subject to PDE constraints. We will show that the IgA approach has its justification in PDE constrained shape optimization processes. First we are going to investigate a linear model problem in IgA with a well established standard algorithm, and then we will apply a relatively new optimization algorithm to this linear model problem. Finally, we are going to treat an electric motor in the IgA framework. We compare our results with other results obtained with standard FEM to confirm the correctness of our obtained results.In vielen Forschungs- und Anwendungsbereichen wie zum Beispiel im Maschinenbau und in der Elektrotechnik ergeben sich Formoptimierungsprobleme. In diesen Forschungs- und Anwendungsbereichen kommt es oft vor, dass das zu optimierende Produkt mit einer "Computer-aided design" (CAD) Software erzeugt wird. Dieses Modell besitzt dann im Großteil der Fälle eine Darstellung mit B-Splines oder NURBS. Wichtige Eigenschaften des zu optimierenden Objektes werden oft mit partiellen Differentialgleichungen (PDEs) modelliert. Zur Analyse solcher gewünschter Eigenschaften war es bisher notwendig, dieses Modell in endlich viele Teilgebiete, "finite Elemente", zu zerlegen. Das war nicht nur ein großer Rechenaufwand, sondern auch der Rand des Rechengebietes kann dann nicht mehr exakt dargestellt werden. Im Jahr 2005 wurde ein neuer Ansatz für solche Probleme vorgestellt, "Isogeometric analysis" (IgA). ^In IgA werden die gleichen Basisfunktionen (B-Splines oder NURBS) für die Darstellung der Geometrie und für die Approximation der Lösung der PDE verwendet. Da wir für die Analyse die gleiche Geometriedarstellung für das zu optimierende Objekt verwenden, die von einer CAD Software bereitgestellt wird, gibt es von vornherein keinen systematischen Fehler durch eine Näherung der Geometrie. Obwohl sich die Standard-Finite-Elemente Methode (Standard-FEM) in der Vergangenheit bewährt hat, bietet IgA einige offensichtliche Vorteile. In dieser Masterarbeit untersuchen wir den vorgeschlagenen IgA Ansatz für Formoptimierungsprobleme, die zusätzlich eine PDE erfüllen müssen. Wir zeigen hier auf, dass IgA durchaus seine Vorteile für solche Arten von Formoptimierungsproblemen hat. Zuerst untersuchen wir das Verhalten von IgA an einem linearen Modellproblem. ^Zusätzlich zu einem bekannten und etablierten Optimierungsalgorithmus verwenden wir für die Optimierung des Modellproblems auch einen relativ neuen Optimierungsalgorithmus. Am Ende dieser Arbeit untersuchen wir einen Elektromotor im Rahmen von IgA. Ziel dieser Optimierung ist das beste Design des Elektromotors für einen optimalen Rundlauf. Anders als im Modellproblem ist das ideale Design des Motors nicht vorab bekannt, jedoch können wir durch einen Vergleich mit bereits bekannten finite Elemente Ergebnissen die erhaltenen Resultate bestätigen.submitted by Rainer SchneckenleitnerUniversität Linz, Masterarbeit, 2017(VLID)239487