Méthodes moléculaires et multi-échelles pour la simulation numérique des matériaux

We investigate in this thesis some molecular models and some multiscale methods for the numerical simulation of materials.The first part (chapters 2, 3 and 4) is devoted to an atomistic modelling. Statistical physics shows that the relevant quantities at the macroscopic scale are phase space averages. Molecular dynamics can be used to compute theseaverages. The time evolution of the system is simulated, that allows one to compute time averages along the trajectories of the system. Under the ergodic assumption, these averages converge in the long time limit to the phase space averages. We study here the convergence rate of the time averages, and provide a numerical analysis of several schemes.In a second part, we study some multiscale approaches. The chapter 6 is devoted to the numerical analysis of a method that couples an atomistic model with a continuum model: the computational domain is split into two subdomains, one described by a continuum model, the other one described by an atomistic model. In particular, we study the criterion that governs the choice, at each material point, of the model (discrete or continuous).In the chapter 7, we study the numerical homogenization of some polycrystal models, that describe matter at the micrometric scale.Le travail de cette thèse a porté sur l'étude de modèles moléculaires et de méthodes multi-échelles pour la simulation numérique des matériaux.Dans une première partie (les chapitres 2, 3 et 4), on s'intéresse à une modélisation à l'échelle atomistique. La physique statistique montre alors que les grandeurs macroscopiques pertinentes sont des moyennes dans l'espace des phases du système étudié. La dynamique moléculaire est une approche pour calculer ces moyennes. L'évolution en temps du système est simulée (par exemple suivant les équations de Newton), ce qui permet de calculer des moyennes temporelles le long des trajectoires du système. Sous l'hypothèse d'ergodicité, ces moyennes convergent en temps long vers la moyenne dans l'espace des phases. Nous nous intéressons ici au rythme deconvergence des moyennes temporelles, et faisons en particulier l'analyse de quelques schémas numériques.Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à des approches multi-échelles. Le chapitre 6 est consacré à l'analyse numérique d'une méthode couplant un modèle atomistique avec un modèle de continuum: le domaine de calcul est partitionné en deux sous-domaines, l'un décrit par un modèle de continuum, l'autre par un modèleatomistique. Nous étudions en particulier le critère permettant de choisir en chaque point du matériau le modèle(discret ou continu) qui est utilisé. Enfin, le chapitre 7 est consacré à l'homogénéisation numérique de modèles de polycristaux, décrivant le comportement de la matière à l'échelle du micromètre