Décroissance des équations des ondes amorties semilinéaires : des cas sans la condition de contrôle géométrique

We consider the semilinear damped wave equation $\partial^2_{tt} u(x,t) + \gamma(x)\partial_t u(x,t) = \Delta u(x,t) - \alpha u(x,t) - f (x,u(x,t))$. In this article, we obtain the first results concerning the stabilization of this semilinear equation in cases where $\gamma$ does not satisfy the geometric control condition. When some of the geodesic rays are trapped, the stabilization of the linear semigroup is semi-uniform in the sense that $\|e^{At}A^{-1}\| \leq h(t)$ for some function $h$ with $h(t)\rightarrow 0$ when $t\rightarrow +\infty$. We provide general tools to deal with the semilinear stabilization problem in the case where $h(t)$ has a sufficiently fast decay.On considère l'équation des ondes amortie $\partial^2_{tt} u(x,t) + \gamma(x)\partial_t u(x,t) = \Delta u(x,t) - \alpha u(x,t) - f (x,u(x,t))$. Dans cet article, nous obtenons les premiers résultats de stabilisation pour cette équation semi-linéaire dans les cas où $\gamma$ ne satisfait pas la condition de contrôle géométrique. Quand certaines trajectoires géodésiques sont captées, la stabilisation du semigroupe linéaire est semi-uniforme dans le sens où $\|e^{At}A^{-1}\| \leq h(t)$ pour une certaine fonction $h$ avec $h(t)\rightarrow 0$ quand $t\rightarrow +\infty$. Nous introduisons des outils généraux pour étudier le problème de la stabilisation de l'équation semi-linéaire dans le cas où $h(t)$ a une décroissance suffisamment rapide