An alternative approach to the resolution of singularities of toric varieties

Das Problem des Auflösens von Singularitäten besteht daraus, eine singuläre algebraische Varietät als Bild einer anderen glatten algebraischen Varietät X' unter einem eigentlichen birationalen Morphismus zu interpretieren. Dieser birationale Morphismus muss ein Isomorphismus ausserhalb der singulären Punkte von X definieren. \\ Diese Arbeit analysiert das Problem des Auflösens von Singularitäten für algebraische Varietäten, die einen Koordinatenring mit speziellen Eigenschaften besitzen: der Koordinatenring muss eine Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sein und von einer endlichen Menge von Monomen erzeugt sein. Das Ziel ist es, einen Algorithmus zu konstruieren, der für eine solche Varietät eine Auflösung von Singularitäten findet. Um dies zu erreichen, übersetzen wir die Effekte eines Blowups in eine Transformation der Exponenten der Monome, die die Koordinatenring von X erzeugen. Dann betrachten wir ein kombinatorisches Problem. Das Ergebnis dieser Arbeit ist ein kombinatorisches Verfahren, das für Kurven und Hyperflächen von Dimension 2 funktioniert. Weiters folgt eine Diskussion über Schwierigkeiten, die in höherer Dimension auftreten, und wie das Problem angegangen werden könnte.The problem of Resolution of Singularities consists of interpreting an algebraic variety X with singular points as the image by a birational proper morphism of some smooth algebraic variety X'. This morphism must define an isomorphism outside the singular locus of X. The present work analyzes this problem for those affine algebraic varieties whose coordinate ring is an algebra over an algebraically closed field of characteristic zero, generated by a finite set of monomials. The aim is to construct an algorithm that, given such a variety, finds a resolution of its singularities. To do so, we translate the effect of a blowup into a transformation of the exponents of the monomials generating the coordinate ring of X. After that, we deal with a combinatorial problem. The result is a combinatorial procedure which works for curves and for hypersurfaces of dimension 2. A discussion about the difficulties that appear for higher dimensional varieties and how could the problem be addressed in this case follows