Curve di riflessione

In un’area dell’Africa centrale, situata approssimativamente nella parte est dell’Angola, nord-ovest dello Zambia e zone limitrofe dello Zaire, vivono i Chokwe (o Cokwe o anche Tchokwe), popolazione stimata approssimativamente in poco più di un milione di persone. I tradizionali disegni dei Chokwe chiamati Sona (Lusona al singolare) hanno destato l’interesse di Paulus Gerdes e altri matematici dopo di lui che li hanno analizzati da vari punti di vista, svelando interessanti proprietà. I Sona sono disegni tracciati sulla sabbia con la punta delle dita. Dapprima viene impressa sulla sabbia una griglia di punti, poi vengono tracciate delle linee chiuse continue tra i punti. Dimensione e forma della griglia sono variabili da Lusona a Lusona. È possibile descrivere dal punto di vista matematico i Sona (e forme artistiche di altre culture come, ad esempio, i nodi celtici) con le “curve di riflessione”, in inglese “mirror curves”. Il nome di queste curve viene dalla loro descrizione intuitiva di traiettorie (planari) di raggi di luce in scatole le cui pareti sono formate da specchi e dove all’interno possono trovarsi specchi a doppia superficie riflettente. Pareti della scatola e specchi sono messi in modo tale che il raggio di luce possa essere riflesso solo ortogonalmente. In questo lavoro presentiamo le curve di riflessione descrivendole come linee chiuse composte da segmenti che possono unire solo punti adiacenti di una griglia di punti a coordinate intere a somma dispari in un’area limitata del piano cartesiano, limitandoci a considerare griglie su aree rettangolari. Abbiamo omesso la griglia di punti disegnata preliminarmente dagli artisti Chokwe visto che non ha un ruolo essenziale nella costruzione delle curve di riflessione ed è ottimamente sostituita dai riferimenti dati dal piano cartesiano. Il problema che ci poniamo è quello di capire cosa succede inserendo uno specchio in una griglia, studiando come cambiano le linee, in particolare il loro numero. La tesi è organizzata come segue. Il Capitolo 1 è dedicato alla definizione delle curve di riflessione e la dimostrazione di alcune basilari proprietà, su griglie prive di specchi interni. Nel paragrafo 1.2 presentiamo una dimostrazione di un noto risultato: il numero di linee di cui è composta la curva di riflessione su una griglia di lati 2p e 2q, con p, q ∈ N, è uguale al massimo comun divisore tra p e q. Nel paragrafo 1.3 presentiamo la dimostrazione che le linee possiedono una struttura periodica, risultato non presente nella letteratura sulle curve di riflessione. Nel paragrafo 1.4 utilizziamo la struttura delle linee dimostrata nel paragrafo precedente per descrivere un algoritmo in grado di identificare quali linee si intersecano in un punto della griglia a partire dalle coordinate del punto. Nel capitolo 2 allarghiamo l’analisi a comprendere griglie con specchi interni. Nel primo paragrafo presentiamo la dimostrazione di alcuni risultati noti sulle conseguenze di inserire uno specchio all’interno di una griglia che ne è priva. Introduciamo inoltre un criterio nuovo, collegato alla struttura delle linee dimostrata nel capitolo precedente, per decidere quale orientamento di uno specchio posto in un’autointersezione di una linea in un punto interno lasci intatta la linea. Nel secondo paragrafo applichiamo i risultati ottenuti nel primo paragrafo per risolvere completamente il problema di inserire uno specchio in una griglia priva di specchi interni. Nel terzo paragrafo affrontiamo un tema molto discusso in letteratura, quello delle griglie monolineari, ovvero le curve di riflessione composte da un’unica linea. Nel capitolo 3 presentiamo le curve di riflessione dal punto di vista della teoria dei grafi. Nel primo paragrafo introduciamo la notazione necessaria. Introduciamo inoltre la nozione di grafo gaussiano. Nel secondo paragrafo definiamo i grafi Sona, grafi derivati da curve di riflessione, e mostriamo che sono grafi gaussiani. Nel terzo paragrafo approfondiamo la nozione di grafo gaussiano e mostriamo come sia possibile generarli tutti a partire dal grafo con un nodo e due loop. Nel quarto paragrafo presentiamo una dimostrazione originale del fatto che ogni grafo gaussiano è isomorfo ad un grafo Sona. Nel quinto paragrafo presentiamo brevemente le connessioni tra grafi gaussiani e diagrammi di nodi e mostriamo come le curve di riflessione possono essere usate per rappresentare i nodi. Abbiamo anche modificato il software SonaPolygonals (programma scritto in java). Questo software ci è stato utile sia per formulare alcune congetture che poi abbiamo dimostrato, sia per le figure presenti nel testo