Quelques équations d'évolution non-linéaires de type hyperbolique-parabolique : existence et étude qualitative

The main goal of this thesis is the study of the asymptotic behavior of global solutions to some nonlinear evolutions equations and coupled systems with different types of dissipation and boundary conditions. Under the assumption that the nonlinear term is real analytic, we construct an appropriate Lyapunov energy and we use the Lojasiewicz-Simon inequality to show the convergence, and the convergence rate, of global weak solutions to single steady states. Far all models studied in this thesis, we are in addition interested in the questions of the existence and uniqueness of global bounded solutions having relatively compact range in the natural energy space. This thesis consists of three main parts.In the first part, we present a unified approach to study the asymptotic behavior and the decay rate to a steady state of bounded weak solutions for an abstract nonautonomous nonlinear equation with linear dissipation. This result allows us to find and to generalize, in a natural way, known results but it applies to a quite general class of equations and coupled systems with different kinds of coupling and various boundary conditions.The second part is devoted to the study of a nonautonomous semilinear second order equation with nonlinear dissipation and a dynamical boundary condition. We prove the existence and uniqueness of global, bounded, weak solutions having relatively compact range in the natural energy space and we show that every weak solution converges to an equilibrium.Finally, we consider a nonautonomous, semilinear, hyperbolic-parabolic equation subject to a dynamical boundary condition of memory type. We prove the existence and uniqueness of global bounded solutions having relatively compact range and we show the convergence of global weak solutions to single steady states. We prove also an estimate for the convergence rate.The first chapter of this thesis consist of a preliminary introduction developing not only the story of researches linked to our models and the results described in the literature, but presenting also our main results as well the ideas of their proofs. There we discuss the complexity of our problems and we present a justification for our studies.L'objectif principal de cette thèse concerne l'étude du comportement asymptotique des solutions globales de quelques équations, et systèmes couplés des équations, d'évolution non linéaires avec différents types d'amortissements et des conditions sur le bord. Sous la condition basique que la non linéarité est analytique, on prouve que les énergies associées vérifient des inégalités de type Lojasiewicz et on obtient des résultats de convergence avec l'estimation de la vitesse de convergence. Pour tous les modèles étudiés dans cette thèse, on s'intéresse aux questions d'existence et d'unicité des solutions bornées à images relativement compactes dans leurs espaces d'énergie naturelles. Cette thèse est constituée de trois parties principales.Dans la première partie on prouve un résultat de convergence général avec l'estimation du taux de décroissance des solutions bornées d'une équation d'évolution abstraite non autonome avec dissipation linéaire. Le résultat permet de retrouver et généraliser de manière naturelle des résultats connus, mais aussi il s'applique à une classe très générale des équations et des systèmes couplés avec divers types decouplage et avec diverses conditions sur le bord.La deuxième partie est consacrée à l'étude des équations du second ordre avec dissipation non linéaire et des conditions dynamiques classiques sur le bord. On prouve l'existence et l'unicité des solutions globales bornées à images relativement compactes et on montre la convergence vers l'équilibre.Finalement, on s'intéresse à des équations d'évolution dégénérée de type hyperbolique-parabolique avec des conditions dynamiques de type mémoire sur le bord. On prouve l'existence et l'unicité des solutions globales bornées à images relativement compactes et on prouve la convergence avec l'estimation de la vitesse de convergence. Le premier chapitre de cette thèse consiste en une introduction préliminaire développant non seulement l'histoire des recherches reliées à nos modèles et leurs résultats décrits dans la littérature, mais aussi en présentant les énoncés de nosrésultats obtenus avec les idées des démonstrations. On y discute la complexité de la problématique et l'on y présente la justification de l'étude